Правила дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = (x), т.е. y = f((x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций  и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

6)Экстремум функции и необходимое условие экстремума

Напомним определение локального экстремума функции.

Определение Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство ( ), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

Теорема Если точка -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо 1) , либо 2) производная не существует.

Точка называется критической точкой функции , если непрерывна в этой точке и либо , либо не существует. В первом случае (то есть при ) точка называется также стационарной точкой функции .

Итак, локальный экстремум функции может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

Пример Рассмотрим функцию . Её производная существует при всех и равна . Следовательно, все критические точки -- стационарные и задаются уравнением . Это уравнение можно записать в виде ; оно имеет единственный корень : это единственная стационарная точка. Записав функцию в виде , легко увидеть, что в стационарной точке функция имеет минимум, равный .