3)Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xО (a,b): f (b) - f (a) =fў (x) (b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней применима теорема Роля

.

Геометрическая интерпретация

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и fў (x) є0 на (a,b), то f (x) єconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим

f (x) - f (x0) =fў (x) (x - x0) =0, т.е. f (x) = f (x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и fў (x) =gў (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.

4)Определение предела функции

  Функцией, определённой на множестве Е со значениями в множестве F называется правило f, в соответствии с которым каждому элементу х из множества Е (х  Е) ставится в соответствие определённый элемент у из множества F (у   F). В этом случае пишут f: E → F, или у = f (х). Элемент х   Е называется аргументом функции, элемент у   F называют значением функции. Понятие множества считается интуитивно ясным. Множество задаётся правилом, согласно которому устанавливается, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.   Определение. Точка х₀ = а   Е называется точкой сгущения множества А   Е, если произвольная окрестность точки х₀ содержит хотя бы одну точку множества А, отличную от х₀. Сама точка х₀ может принадлежать множеству А или не принадлежать.    Число А называется пределом функции f (х), если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от ε число δ >0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ выполняется неравенство | f (х) – А | < ε.   Используя логические символы, это определение можно записать в виде

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε) > 0 ) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) – A | < ε

  Определение. Окрестность точки х₀  (а, b) называется выколотой, если из неё удалена сама точка х₀.   Вышеприведённое определение функции в точке в этом случае можно перефразировать так: для любой как угодно малой ε - окрестности числа А существует такая выколотая δ - окрестность точки х₀, что для всех значений аргумента из этой выколотой δ - окрестности точки х₀ значения функции будут находиться в ε - окрестности числа А.   В связи с тем, что числовая ось задаёт взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси, для нас понятие действительного числа и точки числовой оси будут синонимами.

5)Определение производной

   Пусть на некотором промежутке Х определена функция y = f (x). Возьмём любую точку х₀   Х и зададим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение Δ xтакое, что точка х₀ + Δ x также принадлежит Х. Функция получит приращение Δy = f (x₀ + Δ x) − f (x₀).    Производной функции у = f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → 0 (при условии, что этот предел существует)

.

   Правой производной функции у = f (x) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → + 0 (при условии, что этот предел существует)

.

   Левой производной функции у = f (x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δ x → − 0 (при условии, что этот предел существует)

.

   Если левая производная функции у = f (x) в точке х₀ совпадает с правой производной функции у = f (x) в этой точке, то эти односторонние производные совпадают с самой производной функции в данной точке. Если для некоторого значения х₀ выполняется условие

 (или  ),

то говорят, что в точке х₀ функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.