Глава 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов  ,   обозначается символом   (порядок записи сомножителей безразличен, то есть  ).

Если угол между векторами  ,   обозначить через  , то их скалярное произведение можно выразить формулой

 (1)

Скалярное произведение векторов  ,   можно выразить также формулой

, или  .

Из формулы (1) следует, что  , если   - острый угол,  , если   - тупой угол;   в том и только в том случае, когда векторы   и   перпендикулярны (в частности,  , если   или  ).

Скалярное произведение   называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом  . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы   и   заданы своими координатами:

,  ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол   между векторами

,  ,

дается формулой  , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора   на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где   - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы  ,  ,  , которые оси u составляет с координатными осями, то   и для вычисления вектора   может служить формула

.

Глава 32. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора   на вектор   называется вектор, обозначаемый символом   и определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора   равен  , где   - угол между векторами   и  ;

2). Вектор   перпендикулярен к каждому из вектора   и  ;

3). Направление вектора   соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы  ,   и   приведены к общему началу, то вектор   должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору  ), а указательный - по второму (то есть по вектору  ).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

.

Модуль векторного произведения   равен площади S параллелограмма, построенного на векторах   и  :

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где   - орт векторного произведения.

Векторное произведение   обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны. В частности,  .

Если система координатных осей правая и векторы   и   заданы в этой системе своими координатами:

,  ,

то векторное произведение вектора   на вектор   определяется формулой

,

или

.

Глава 34. Двойное векторное произведение

Пусть вектор   умножается векторно на вектор  , после чего полученный вектор   умножается снова векторно на вектор  . В результате получается так называемое двойное векторное произведение   (ясно, что   - вектор). Умножая вектор   векторно на  , получим двойное векторное произведение  .

Вообще говоря,

.

Докажем, что имеет место тождество

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем (декартову прямоугольную) систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по вектору  , ось Оу поместим в плоскости векторов   и   (считая, что векторы   и   приведены к общему началу). В таком случае будем иметь

,  .  .

Теперь находим

,  .

С другой стороны

,

,

,

.

Следовательно,

.

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем

,

что и требовалось доказать.