Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекция отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками

Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая - концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (см. рис.), обозначается символом   (то есть так же, как отрезок оси). Длина направленного отрезка   (при заданном масштабе) обозначается символом   (или АВ).

Проекцией отрезка   на ось u называется число, равное величине отрезка   оси u, где точка   является проекцией точки А на ось u, а точка  - проекцией точки В на эту же ось.

Проекция отрезка   на ось u обозначается символом  . Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом Х, его проекция на ось Оу - символом Y.

Если известны координаты точек  ( ,  ) и  ( ,  ), то проекции X и Y направленного отрезка   на координатные оси могут быть вычислены по формулам

,  .

Таким образом, чтобы найти проекции направленого отрезка на координатные оси, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Угол  , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка  , называется полярным углом отрезка  .

Угол   понимается как в тригонометрии. Соответственно этому   имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину ида  (где n - целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам  .

Формулы

, 

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы

,  ,  ,

которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на координатные оси.

Если на плоскости даны две точки  ( ,  ) и  ( ,  ),, то расстояние d между ними определяется формулой

.

Глава 5. Деление отрезка в данном отношении

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки  ( ,  ) и  ( ,  ), и дано отношение  , в котором точка М делит отрезок  , то координаты точки М определяются по формулам

,  .

Если точка М является серединой отрезка  , то ее координаты определяются по формулам

,  .

Глава 6. Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки A( ;  ), B( ;  ), C( ;  ), площадь S треугольника ABC дается формулой

 .

Правая часть этой формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка   к отрезку   положителен, и -S в том случае, когда такой поворот 

Глава 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

,  .

Здесь x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (говорят также, что a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол   (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

,  .

Здесь x, y суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

, 

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол  . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.