Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду

Пусть дано уравнение

 (1)

определяющее центральную линию второго порядка ( ). Перенося начало координат в центр S( ,  ) этой линии и преобразуя уравнение (1) по формулам

,  ,

получим

 (2).

Для вычисления   можно пользоваться формулой

 или  .

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощиь преобразования координат

,  , (3)

соответствующео повороту осей на угол  .

Если угол   выбран так, что

 (4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

 (5)

где  ,  .

ЗАМЕЧАНИЕ. Уравнение (4) позволяет определить  , тогда как в формулах (3) участвуют   и  . Зная  , можно найти   и   по формулам тригонометрии

,  .

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения:

,  ,

которые позволяют определить коэффициенты A’, C’, не проводя преобразований координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если  , гиперболическим, если   и параболическим, если  .

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (то есть определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не опредляет никакого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (то есть пару пересекающихся прямых).

Глава 29. Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом   или а. Если  , то вектор   называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором  , называется ортом вектора   и обозначается обычно символом  .

Проекцией вектора   на ось u называется число, равное величине отрезка   оси u, где точка   является проекцией точки А на ось u, а   - проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора   на ось u обозначается символом  . Если вектор обозначен символом  , то его проекцию на ось u принято обозначать:  .

Проекция вектора   на ось u выражается через его модуль и угол   наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора   на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство  ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается  .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ), являющиеся соответственно началом и концом вектора  , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам  ,  ,  .

Формула

 (2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если  ,  ,   - углы, которые составляет вектор   с координатными осями (см. рис. 2), то  ,  ,   называются направляющими косинусами вектора  .

Вследствие формулы (1)

,  ,  .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов  ,  ,  , если известны два других.