Глава 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид

, (1)

где  ,   - полярные координаты произвольной точки линии, р - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси),   - эксцентриситет (в случае параболы  ). Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

 (1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k, определяется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k’ - угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

 (3)

Если k и k’ - угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

 (4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Глава 23. Центр линии второго порядка

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) принято записывать в виде:

 (1)

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S( ,  ) является центром линии, определяемой уравнением (1), в том и только в том случае, когда ее кординаты удовлетворяют уравнениям:

,   (2)

Обозначим через   определитель этой системы:

.

Величина   составляется из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

Если  , то система (2) является совместной и определенной, то есть имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам

,  .

Неравенство   служит признаком центральной линии второго порядка.

Если S( ,  ) - центр линии второго порядка, то в результате преобразования координат по формулам

, 

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение примет вид

где A, B, C те же, что в данном уравнении (1), а   определяется формулой

.

В случае   имеет место также следующая формула:

,

где

.

Определитель   называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.