Глава 15. Уравнение пучка прямых
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.
Если и - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение
,
(1)
где
, 
-
какие угодно числа, не равные одновременно
нулю, определяет прямую, также проходящую
через точку S.
Более того, в уравнении (1) числа , всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).
Если 
,
то, деля обе части уравнения (1) на
и
полагая 
,
получим
.
(2)
Этим
уравнением можно определить любую
прямую пучка с центром S,
кроме той, которая соответствует 
,
то есть кроме прямой
.
Глава 16. Полярное уравнение прямой
Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точке Р. Угол, на который нужно повернуть полярную ось до наложения ее на отрезок , будем называть полярным углом нормали.
Глава 17. Окружность
Уравнение
(1)
определяет окружность радиуса R с центром C( ; ).
Если
центр опружности совпадает с началом
координат, то есть если
, 
,
то уравнение (1) принимает вид
Глава 18. Эллипс
Эллипсом
называется геометрическое место точек,
для которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек плоскости, называемых
фокусами, есть постоянная величина,
большая, чем расстояние между фокусами.
Постоянную сумму расстояний произвольной
точки эллипса до фокусов принято
обозначать через 2а. Фокусы эллипса
обозначают буквами 
и 
,
расстояние между ними - через 2с. По
определению эллипса 
или 
.
Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
(1)
где 
;
очевидно, 
.
Уравнение вида (1) называется каноническим
уравнением эллипса.
При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии (рис.). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии - просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. Вершины эллипса суть точки A’, A, B’, B. Часто осями эллипса называются также отрезки A’A=2a и B’B=2b; вместе с тем отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB=b - малой полуосью.
Если
фокусы эллипса расположены на оси Оу
(симметрично относительно начала
координат), то уравнение эллипса имеет
тот же вид (1), но в этом случае 
;
следовательно, если мы желаем буквой а
обозначать большую полуось, то в уравнении
(1) нужно буквы а и b поменять
местами. Однако для удобства формулировок
задач мы условимся буквой а всегда
обозначать полуось, расположенную на
оси Ох, буквой b -
полуось, расположенную на оси Оу,
независимо от того, что больше, a или b.
Если a=b,
то уравнение (1) определяет окружность,
рассматриваемую как частный случай
эллипса.
Число
где
а - большая полуось, называется
эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 
(для
окружности 
).
Если М(x;
y)
- произвольная точка эллипса, то
отрезки 
и 
(рис.)
называются фокальными радиусами точки
М. Фокальные радиусы могут быть вычислены
по формулам
, 
.
Если эллипс определен уравнением (1) и , то прямые
, 
(рис.)
называются директрисами эллипса (если
,
то директрисы определяются уравнениями 
, 
.
Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
Если две плоскости и образуют острый угол , то проекциейй на плоскость окружности радиуса a, лежащей на плоскости , является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле
(рис.).
Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом , будет эллипс, малая полуось которого рвна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле
(рис.).
