Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки  ( ,  ) и  ( ,  ).

Если известны угловые коэффициенты   и   двух прямых, то один из углов   между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или  .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнение двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"

Если в общем уравнении прямой :

один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член) обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:

1). С=0; уравнение имеет вид   и определяет прямую, проходящую через начало координат.

2). В=0 (А 0); уравнение имеет вид   и определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох. Это уравнение может быть записано в виде х=а, где   является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала координат.

3). В=0, С=0 (А 0); уравнение может быть записано в виде х=0 и определяет ось ординат.

4). А=0 (В 0); уравнение имеет вид   и определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может быть записано в виде y=b, где   является величиной отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

5). А=0, С=0 (В 0); уравнение может быть записано в виде у=0 и определяет ось абсцисс.

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

, (2)

где  ,   суть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях.

Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках».

Если две прямые даны уравнениями

 и  ,

то могут представиться три случая:

а).   - прямые имеют одну общую точку;

б).   - прямые параллельны;

в).   - прямые сливаются, то есть оба уравнения определяют одну и ту же прямую.

Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью. Обозначим через Р точку пересечения нормали с данной прямой и установим положительное направление нормали от точки О к точке Р.

Если   - полярный угол нормали, р - длина отрезка   (рис.), то уравнение данной прямой может быть записано в виде

;

уравнение этого вида называется нормальным.

Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка  ; обозначим через d расстояние от точки М* до данной прямой. Отклонением   точки   от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой,  =0). Если даны координаты  ,   точки   и нормальное уравнение прямой  , то отклонение   точки  от этой прямой может быть вычислено по формуле

.

Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки   от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки  . Полученное число будет равно искомому отклонению.

Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль:  .

Если дано общее уравнение прямой  , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель  , определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого уравнения.