21. Закони електричних кіл в комплексній формі

Перший закон Кірхгофа в комплексній формі

У колі синусоїдного струму для будь-якого вузла, до якого увімкнено М віток, рівняння згідно з першим законом Кірхгофа для миттєвих значень струмів може бути записане у вигляді алгеб­

раїчної суми .

Після підстановки миттєвого значення k-то струму, вираженого за допомогою комплексної амплітуди

ліва частина рівняння (3.70) набуде вигляду суми проекцій век­торів, що обертаються з однаковою кутовою частотою со:

Використовуючи властивість комутативності векторів (сума проекцій векторів дорівнює проекції суми цих векторів), рівняння (3.71) можна перетворити так:

Співвідношення (3.72) показує: в будь-який момент часу про­екція вектора, що обертається з кутовою частотою со

дорівнює нулю. Це можливо тільки у випадку, якщо цей вектор

дорівнює нулю, тобто

Співвідношення (3.73) є математичним записом першого зако­ну Кірхгофа в комплексній формі.

Розділивши ліву і праву частини рівняння (3.73) на V2, отри­маємо запис першого закону Кірхгофа в комплексній формі для комплексних діючих значень синусоїдних струмів:

Формулювання першого закону Кірхгофа в комплексній формі: у вузлі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплекс­них амплітуд синусоїдних струмів віток дорівнює нулю;

у вузлі кола синусоїдного струму алгебраїчна сума комплекс­них діючих значень синусоїдних струмів віток дорівнює нулю.

Другий закон Кірхгофа в комплексній формі

Рівняння, складене згідно з другим законом Кірхгофа для мит­тєвих значень усіх К напруг у контурі та N ЕРС кола синусоїдного струму, має вигляд:

Якщо у рівняння (3.75) підставити миттєві значення напруг і ЕРС, виражені через комплексні амплітуди

рівняння матиме вигляд:

Перетворюючи рівняння (3.76) подібно тому, як це було зробле­но вище при виведенні першого закону Кірхгофа в комплексній формі, можна записати:

звідки виходить співвідношення для другого законі/ Кірхгофа

в комплексній формі:

Іншими словами, скільки струму втікає у вузол, стільки з нього і випливає. Даний закон випливає з закону збереження заряду. Якщо ланцюг містить p вузлів, то вона описується p - 1 рівняннями струмів. Цей закон може застосовуватися і для інших фізичних явищ (наприклад, водяні труби), де є закон збереження величини і потік цієї величини.

1.2. Другий закон

Другий закон Кірхгофа (Закон напруг Кірхгофа, ЗНК) говорить, що алгебраїчна сума падінь напружень по будь-якому замкнутому контуру кола дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, що діють уздовж цього ж контура. Якщо в контурі немає ЕРС, то сумарне падіння напруги дорівнює нулю:

для постійних напруг

для змінних напруг

Іншими словами, при обході ланцюга по контуру, потенціал, змінюючись, повертається до початкового значення. Якщо ланцюг містить гілок, з яких містять джерела струму гілки в кількості , То вона описується рівняннями напруг. Окремим випадком другого правила для ланцюга, що з одного контуру, є закон Ома для цього ланцюга.

Закони Кірхгофа справедливі для лінійних і нелінійних ланцюгів при будь-якому характері зміни в часі струмів і напруг.