Криволинейные и поверхностные интегралы
Занятие 1. Криволинейные интегралы 1-го типа.
Занятие 2. Криволинейные интегралы 2-го типа.
Занятие 3. Формула Грина.
Занятие 4. Поверхностные интегралы 1-го рода.
Занятие 5. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
Занятие 6. Поверхностные интегралы 2-го рода.
Занятие 7. Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла 2-го рода.
Занятие 8. Контрольная работа по занятиям 1-7.
Теория поля
Занятие 9. Основные понятия теории поля.
Занятие 10. Действия с оператором Гамильтона.
Занятие 11. Формула Гаусса-Остроградского.
Занятие 12. Формула Стокса.
Занятие 13. Задачи теории поля.
Занятие 14. Контрольная работа по занятиям 9-14.
Тензоры и основы дифференциальной геометрии
Занятие 15 Тензорная алгебра.
Занятие 16. Пространственные кривые.
Занятие 17. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.
Вопросы к экзамену по вта
Длина кривой. Теорема о длине спрямляемой кривой.
Криволинейный интеграл 1-го рода. Теорема о его вычислении.
Криволинейный интеграл 2-го рода. Теорема о его вычислении.
Трапеции 1-го и 2-го типа. Формула Грина.
Критерий равенства нулю криволинейного интеграла 2-го рода по контуру.
Теорема об эквивалентности 4-х утверждений для плоских связных областей.
Теорема о нахождении функции по её дифференциалу.
Предел интегральных сумм на гладкой поверхности. Теорема о вычислении площади поверхности.
Поверхностный интеграл 1-го рода. Теорема о его вычислении и её следствие.
Поверхностный интеграл 2-го рода. Теорема о его вычислении.
Т-цилиндры и простые поверхности. Формула Гаусса-Остроградского.
Формула Стокса.
Теорема об эквивалентности 4-х утверждений для связных областей в пространстве.
Градиент. Теорема о вычислении градиента в декартовых координатах и её следствия.
Производная по направлению. Теорема о её вычислении и её следствие.
Свойства градиента. Оператор набла и три свойства градиента.
Дивергенция. Теорема о вычислении дивергенции в декартовых координатах.
Ротор. Теорема о вычислении ротора в декартовых координатах.
Дифференциальные операторы (§ 20).
Потенциальные поля. Критерий потенциальности.
Циркуляция. Связь с формулой Стокса и следствия.
Соленоидальные поля. Критерий соленоидальности.
Теорема о потоке соленоидального поля через замкнутую поверхность.
Теорема о независимости выбора поверхности в формуле Стокса.
Векторная трубка. Терема об потоках через сечения векторной трубки.
Лапласовы поля и их свойства.
Теорема о лапласовом поле, имеющем нулевую нормальную составляющую на границе области, и её следствие.
Основная теорема векторного анализа и обратная к ней.
Исходный и взаимный базисы. Теоремы о координатах вектора в исходном и взаимном базисе, о вычислении взаимного базиса в трёхмерном пространстве и об их ориентации.
Криволинейные координаты. Теорема о базисах. Координатные линии и поверхности в криволинейных координатах.
Ортогональные криволинейные координаты. Критерий ортогональности криволинейных координат. Теорема о квадрате длины и её следствия.
Теорема о вычислении градиента в криволинейных координатах.
Теорема о вычислении дивергенции в криволинейных координатах.
Теорема о вычислении ротора в криволинейных координатах.
Теорема о вычислении лапласиана в криволинейных координатах.
Теорема о градиенте, дивергенции, роторе и лапласиане в сферических координатах.
Теорема о градиенте, дивергенции, роторе и лапласиане в цилиндрических координатах.
Соглашение Эйнштейна об индексах. Лемма о независимости тензора от обозначения связного индекса. Матрицы прямого и обратного преобразования.
Леммы о преобразовании координат вектора, линейной формы и билинейной формы при переходе к новому базису.
Объекты и тензоры типа
и ранга
.
Теорема о равенстве тензоров. Линейное
пространство тензоров одного типа.
Теорема о тензорном произведении.
Теорема о свёртке тензора.
Скалярное произведение. Пример нестандартного скалярного произведения. Длина и угол.
Ковариантный метрический тензор и теорема о нём. Теорема о вычислении скалярного произведения, длины и угла с помощью ковариантного метрического тензора.
Теорема о преобразовании взаимного базиса.
Контравариантный метрический тензор и теорема о нём. Теорема о ко- и контравариантных координатах и о связи ко- и контравариантных тензорах.
Поднятие и опускание индексов и теорема об этом.
Теорема об эквивалентных тензорных уравнениях.
Теорема о поднятии и опускании индексов в свёртке.
Теорема об ортогональности
и
.
Теорема о выборе натурального параметра
и тождество о нём.Формулы Френе-Серре.
Теорема о вычислении кривизны и кручения.
Дополнительные вопросы: дать определение, сформулировать теорему или написать формулу из курса лекций.