5.5. Вектор-функция скалярного аргумента. Кривые в пространстве и на плоскости

Определение вектор функции. Определение 8. Функция, заданная на некотором подмножестве , значениями которой является некоторое множество векторов, ,( ) называется векторной функцией скалярного аргумента (вектор-функция).

В этом определение в зависимости от задачи под значениями можно понимать как свободные вектора, так и вектора с закрепленным началом.

Если в пространстве задана декартовая система координат, то вектору соответствует некоторая упорядоченная тройка чисел-координат и наоборот, каждой тройке чисел соответствует вектор. Поэтому задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных функций , , ,которые являются его координатами:

, , .

На плоскости ; .Будем предполагать, что для вектор-функции справедливы все свойства векторов, определенные линейными операциями векторов, скалярным и векторным произведением.

Длину вектора будем обозначать .

Замечание. Можно рассматривать векторные функции в -мерном пространстве т.е. . Но в дальнейшем все будем рассматривать для .

Пусть определена в некоторой окрестности точки и -некоторый вектор.

Определение 9. Вектор называется пределом вектор-функции , если

.

Или

.

Обозначение

.

Теорема 12. Пусть , , , . Для того чтобы вектор являлся пределом в точке необходимо и достаточно, чтобы .

Для векторов справедливо свойства пределов сумм, разности, скалярного и векторного произведения.

1.Если , то . Это следует из неравенства .

2. .

3. , где -скалярная функция.

4. .

5. .

В свойствах 2-5 все рассматриваемые функции определены на некотором множестве и предполагается, что все пределы, входящие в правые части существуют. Доказывается аналогично доказательству пределов для скалярных функций.

Определение 10. Вектор-функция , определенная в некоторой окрестности точки называется непрерывной в точке , если .

Из теоремы 12 очевидно, что непрерывность эквивалентна непрерывности в точке трех скалярных функций и справедливы свойства с арифметическими операциями над непрерывными функциями.

Определение 11. Пусть векторная функция определена в некоторой окрестности точки . Если существует предел или ( ), то он называется производной данной векторной функции в точке и обозначается или .

, ( ).

Производная является тоже вектором. Вектор-функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке. Видно, что определение производной вектор-функции аналогично определению производной скалярной функции.

Легко показать, что если выбрана декартова система координат и , то , при условии что дифференцируемы по функции. Это следует из того, что

и дальше по теореме 12.

Производную вектор-функции называется так же скоростью изменения вектора относительно параметра .Если длина не изменяется производная называется также скоростью вращения вектора .

Производная вектор функции обладает следующими свойствами, аналогичным свойствам скалярных функций.

1. Если вектор функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

2. Если - дифференцируема в точке скалярная функция, дифференцируема в точке векторная функция, то справедлива следующая формула

или короче

3. Если дифференцируемы, то

Производные высших порядков для вектор-функций определяются по индукции: если у вектор-функции в некоторой окрестности точки существует производная порядка ( , то производная порядка в этой точке определяется по формуле:

.

Если , , -раз дифференцируема в некоторой окрестности , то имеет место формула

,

или

,

которая называется формулой Тейлора для вектор-функции с остаточным членом в форме Пеано. Эта формула непосредственно следует из разложения по формуле Тейлора координат .

Из всего этого видно, что рассмотренные понятия и утверждения для векторных функций получается перенесением соответствующих понятий и утверждений для скалярных функций. Однако следует отметить, что не все что справедливо для скалярной функции имеет прямой аналог для вектор-функции. Например, для вектор-функции несправедлива теорема Ролля, а следовательно теорема Лагранжа, частным случае которой является теорема Ролля. Например, - дифференцируема функция.

, .

Однако не существует , для которой , несмотря на то, что .

Для векторных функций вместо прямого аналога теоремы Лагранжа имеет место следующая теорема.

Теорема 13. Если вектор-функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри него, то существует точка , такая, что (10)

□ Если , то (10) выполняется автоматически. Пусть . Пусть -единичный вектор ( ), одинаково направленный с (т.к. где -единичный вектор),

-скалярное произведение. Т.о., получилась разность значений скалярной функции на концах отрезка : .

Из этой формулы следует, что непрерывна на отрезке и дифференцирована в , т.к. по условию этим обладает функция . Тогда для справедлива формула Лагранжа:

, .

Но по правилу дифференцирования скалярного произведения имеем , поэтому , но т.к. , то . ■

Кривые на плоскости и в пространстве. Пусть некоторый отрезок .Тогда векторная функция, заданная на , есть отображение этого отрезка в , т.е. : . Если непрерывна в каждой точке , то непрерывна на отрезке .

Определение 12. Непрерывное отображение отрезка в пространство или на плоскость называется кривой. Число называется параметром кривой. Кривые будем обозначать , т.е. .

Само множество точек на плоскости или в пространстве называется носителем кривой . Отметим, что, во-первых, одно и то же множество, полученное как образ двух разных непрерывных отображений отрезков, рассматриваются как различные кривые.

Во-вторых, непрерывное отображение, которое является кривой, не предполагается взаимно-однозначным, т.е. в одну точку кривой может отобразиться две или боле точек . Точки , в которые, отображается несколько точек , называются точками самопересечения. Точка носителя кривой, в которую, отображается по крайне мере две точки отрезка , называется кратной точкой носителя или точкой самопересечения. Точка называется началом кривой, точка концом кривой.

Определение 13. Кривая называется замкнутой кривой или замкнутым контуром, если ее начало совпадает с концом, т.е. .Замкнутая кривая, не имеющая точек самопересечения, кроме точек и такая, что при называется простым замкнутым контуром. Если кривая не имеет точек самопересечения, называется просто дугой.

Если кривая задана вектор-функцией , , , то это эквивалентно заданию трех скалярных функций:

.

Такое задание кривой называется параметрическим.

Пример 10.

1

z

) - прямая линия в пространстве.

- прямая линия на плоскости.

2

a

) - винтовая линия (рис.10).

Рис.10

3)

Это две разные кривые носителем является одна и та же окружность , но в первом случае и окружность проходиться один раз. А в и окружность проходится два раза. Кривая имеет одну кратную точку, а у все точки кратные.

4) Кривая является просто дугой, если непрерывная на . Носителем является график .

Определение 14. Кривая заданная вектор-функцией на называется непрерывно-дифференцируемой, если непрерывно дифференцируема функция , т.е. следующие функции на .

Непрерывно-дифференцируемая кривая называется гладкой, если . Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно представить как конечную сумму гладких кривых.

Лемма. В каждой точке гладкой кривой существует касательная, и производная вектор-функции направлена по этой касательной в сторону возрастая параметра.

□ Пусть возрастает при движении от к (рис.11а). Вектор направлен по секущей . По условию производная существует, т.е. . Откуда направлен по касательной. Векторы и лежат на одном и том же луче . Если , то векторы и направлены в сторону возрастания параметра . Если (рис.11б), то направлен в сторону убывания параметра , а вектор снова направлен в сторону возрастания . ■

Рис.11а

Рис.11б

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями. Напишем уравнение касательной прямой в точке которая соответствует значению параметра , . Если кривая гладкая, то .

Каноническое уравнение прямой имеет вид: .

Вектор , тогда уравнение касательной прямой:

.

Определение 15. Нормальной плоскостью к пространственной кривой называется плоскость перпендикулярная касательной прямой и проходящей через точку касания.

Пусть точка касания. Уравнение плоскости , где - нормальный вектор. Но вектор , следовательно, за можно взять . Тогда уравнение нормальной плоскости будет иметь вид:

.

Пример 11. Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии в точке , где .

Спрямляемые кривые. Длина кривой. Определение 16. Разбиением отрезка называется множество точек таких, что ; . Пусть кривая, заданная вектор-функцией на отрезке , т.е. .

Рис.13

Обозначим , т.е. – длина ломаной с вершинами в точках , являющимися концами радиус-векторов , иначе говоря , ломанной, вписанной в кривую (рис.13).

Определение 17. Точная верхняя грань на множестве T длин всевозможных ломанных, вписанных в данную кривую, называется длиной этой кривой.

.

Если , то кривая называется спрямляемой. Бывают и не спрямляемые кривые. Но они задаются очень сложно, и примеры приводить не будем.

Теорема 14. Если кривая непрерывно дифференцируемая, то она спрямляемая и ее длина удовлетворяет неравенству:

, где . (11)

□ Пусть некоторое разбиение . Можно записать и применяя теорему 13, получим:

, где ; .

т.к. - длина ломаной, вписанной в кривую , соответствующая разбиению , то из последнего равенства следует, что

.

Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по все возможным разбиением отрезка , получим в силу определения 17 неравенство:

.

В заключение отметим, что в силу непрерывной дифференцированности функции на числовая функция непрерывна на этом отрезке и, следовательно, по теореме Вейерштрасса принимает на нем наибольшее значение в некоторой точке :

.

Поэтому , т.е. -спрямляемая кривая. ■

Теорема 15. Если кривая непрерывно дифференцируемая, то переменная длина дуги , отсчитываемая от начала кривой , является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра и , т.е.

или

. (12)

□ Пусть длина дуги кривой от точки до точки , ; . Тогда - длина дуги от точки до . Поэтому по теореме 14, имеем из (11):

,

где наибольшее значение на отрезке .

Обозначим через точку, . Разделим обе части равенства на :

,

но возрастает с ростом , т.к. длина дуги увеличивается, т.о.

(13)

Левая и правая часть равенства имеют один и тот же предел при . Действительно, по определению производной имеем:

,

В правой части, т.к. , то при , , . А т.к. функция непрерывна в точке , то .

И тогда из неравенства (13) получаем, что предел существует и равен . Это означает, что существует производная , и что . Тогда, если , то . ■

Замечания.

1. Ясно, что если рассматривается кривая на плоскости, то .

2. Если умножить обе части (12) на , то выражение называется дифференциалом дуги.

3. Если кривая задана в явном виде на плоскости , то параметризируя уравнение кривой: , для дифференциала дуги получим на плоскости .