5.3 Представления основных элементарных функций с помощью формулы Тейлора.
Практическая
значимость формулы Тейлора состоит в
том, что она позволяет заменить функцию
,
имеющую на промежутке
производные до
-го
порядка включительно, многочленом
-й
степени
,
а различные формы остаточного члена позволяют оценить возникающую при этом погрешность. Таким образом формула Тейлора может быть использована для получения различных формул для приближенного вычисления значений функций.
Пусть
обладает следующими свойствами:
,
что
и
из
окрестности точки
выполняются условия:
,
т.е. все производные равномерно ограничены.
Возьмем остаточный член в формуле Лагранжа при .
,
т.к
,
то получим:
.
Это есть универсальная оценка остаточного члена.
Поскольку
,
то выбирая достаточно большой номер
можно сделать остаточный член как угодно
малым.
Получим представление
некоторых элементарных функций с помощью
формулы Тейлора по степеням
,
т.е. по формуле Маклорена, когда
.
1.
.
.
Тогда
формула Маклорена для функции
будет
иметь вид:
.
Остаточный
член в форме Лагранжа (
):
;
При любом фиксированном , остаток стремится к 0, т.к.
.
2.
;
;
.
При
.
При
и
Если
,
то
.
Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:
.
3.
;
;
При
.
При
.
.
Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:
.
Остаточный член
при
.
4.
;
;
;
:
.
Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:
.
Остаточный член в форме Лагранжа
;
,
т.е.
при
.
5.
;
.
Разложение функции по формуле Маклорена будет иметь вид:
.
.
При
Ясно,
что при
- целое число, то получим бином Ньютона
.
Пусть функция имеет в окрестности точки все производные до n-го порядка включительно. Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в ряде Пеано.
.
Этой формулой удобно пользоваться для вычисления пределов.
Пример 3. Вычислить пределы, разложив функцию по формуле Тейлора.
1)
.
При
имеем
,
тогда
.
Здесь
использовано:
.
2)
.
;
;
3)
.
5.4. Исследование функций
Монотонность. Теорема 5. (Необходимый и достаточный признак монотонности). Для того чтобы дифференцируемая на открытом промежутке функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достаточно, чтобы:
.
□ 
Необходимость.
Пусть
дифференцируема и
не убывает на
.
Докажем, что
.
Рассмотрим
отношение
.
Если
, то
.
Перейдем
к пределу при
,
и по теореме сравнения получим
.
Аналогично доказывается в случае не возрастания функции.
Достаточность.
Пусть
.
Докажем, что
не убывает.
Пусть
,
причем
.
На отрезке
непрерывная
и дифференцируемая, следовательно
выполняется теорема Лагранжа:
.
(6)
и
не убывает.
■
Следствие.
Если
,
то
строго возрастает
на
,
если
,
то
строго убывает на
.
Справедливость следует из (6).
Отметим, что условия
и
не являются необходимыми для строгого
возрастания и убывания. Например,
,
а функция
строго возрастает всюду.
Теорема остается справедливой для непрерывных функций, не имеющих производных в конечном числе точек. Для проверки достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал множеством точек, где производные не существуют.
Экстремумы. Пусть определена на открытом промежутке .
Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторая окрестность точки , что
.
Точка называется точкой минимума функции , если
.
Если
выполняется условие
(или
),
то
называется точкой строгого
максимума (строгого
минимума).
очки максимума и минимума (строгого max и строгого min) называются точками экстремума функции .
Очевидно, что если
,
то
точка максимума. Если
,
то
точка минимума.
Рис.1
Теорема
6. (Ферма, необходимый
признак экстремума).
Если
дифференцируемая в окрестности точки
и функция
имеет в точке
экстремум, то
□
Пусть при
имеется
экстремум, например максимум. Тогда
и
.
Откуда
Так как функция дифференцируемая, то предел в определении производной
не зависит от того,
как стремится
слева или справа. Но если
,
то
,
а если
,
то
.
Следовательно
.
Аналогичное доказательство и для минимума. ■
иии
Рис.2
Точки, в которых называются стационарными. Точки, в которых первая производная равна 0 или не существуют, называются критическими.
Теорема
7. (I-й
достаточный признак экстремума)
Пусть функция
непрерывна
в некоторой окрестности критической
точки
и дифференцируема в этой окрестности
(за исключением, может быть самой точки
).
Тогда, если при
,
а при
,
то
- точка строго локального максимума.
Если при
,
а при
,
то
- точка строгого минимума.
□ Пусть знак меняется с + на – в точке .
при
.
при
.
На
отрезке
запишем формулу Лагранжа:
.
На формула Лагранжа имеет вид:
.
Таким образом
,
следовательно
-
точка строгого max.
Для min
доказательство аналогично.
■
Пример 4. Определить интервалы монотонности и найти экстремумы.
1)
.
Найдем сначала критические точки.
.
Проверим признак в каждой критической точке, одновременно исследуя монотонность.
Рис.3
2)
поэтому экстремумов нет и функция
всюду возрастает.
3)
;
.
Производная в точке
не существует, но при переходе через
неё изменяет знак с плюса на минус,
поэтому
есть точка max.
4)
;
.
Функция всюду возрастает, экстремумов
нет.
Теорема 8. (II-й
достаточный признак экстремума).
Пусть
дважды непрерывно дифференцируема в
окрестности точки
и
.
Тогда, если
,
то
-
точка максимума, если
,
то
-
точка минимума.
□
Разложим
по
формуле Тейлора в окрестности точки
по степеням
при
,
(7)
где
.
Поскольку , то из (7), получаем:
Пусть
т.к.
непрерывна в окрестности точки
,
то
что
т.е.
.
Тогда
и
.
Т.е
–точка максимума.
Аналогично теорема доказывается в случае минимума. ■
Пример
5. Найти
экстремумы функции
при
.
.Производная
равна нулю в точках
и
.
Находим вторую производную и вычисляем её в этих точках:
В точке -минимум, а в точке -максимум.
Теорема
9. Пусть
непрерывна
и дифференцируема
раз
в окрестности точки
,
причем
,
но
,
тогда:
а) если
-четное
и
,
то
точка максимума.
б) если
-четное
и
,
то
точка минимума.
в) если - нечетное, то в точке не имеет экстремума.
Доказать самостоятельно, записав формулу Тейлора для членов.
Замечание
1. Если
не существует, то исследование на
проводят с помощью 1-ого признака.
Замечание
2. По теореме
Вейерштрасса, функция непрерывная на
отрезке
принимает на нем свое max
и min
значения (достигает
и
).
Тогда наибольшее и наименьшее значения
функция
на
принимает либо на концах отрезка в
точках
и
,либо
в точке локального max
и min.
Выпуклость
и точки перегиба функции.
Пусть функция
дифференцируема в окрестности точки
.Тогда
уравнение
(
)
есть
уравнение касательной к графику
в точке
.
Определение 3. Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) в окрестности точки , если выполняется условие:
,
т.е.
график
расположен
ниже касательной в точке
(рис.4а).
Функция наз. вогнутой (выпуклой вниз) в ) в окрестности точки , если
,
т.е. график расположен выше касательной в точке (рис.4б).
x0
y
y
x
x
а)
б)
Рис.4
Определение
4.
называется выпуклой
на открытом промежутке
,
если она выпуклая в окрестности любой
точки
.
Определение 5. Точка называется точкой перегиба непрерывно дифференцируемой в проколотой окрестности точки функции , если в этой точке изменяется характер выпуклости (рис.5).
Рис.5.
Т.е.
,
если
,
,
если
.
Или , если ,
, если .
Теорема
10. Пусть
имеет на открытом промежутке
производные до
-ого
порядка включительно
,
причем
непрерывна в точке
и
,
а
,
тогда:
а) если
-
четное
и
,
то
выпуклая вверх в окрестности точки
.
б) если
-четное
и
,
то
выпуклая вниз в окрестности точки
.
в) если
-нечетное
,
то
-точка
перегиба.
□ Т.к. , то из формулы Тейлора с остаточным членом в формуле Пеано, имеем:
.
(8)
Остаточный член в форме Пеано можно переписать в виде:
,
где
при
.
Тогда из (8):
Т.к.
при
,
то
в которой
имеет тот же знак, что и
,
т.е.
.
Если , то при :
, т.е функция выпуклая вверх.
Если , то при :
, т.е. функция выпуклая вниз.
Пусть
.
Тогда при
,
а при
;
Следовательно,
при переходе через точку
выражение
изменяет знак, т.е. изменяет знак и
,
поэтому т.
является точкой перегиба.
■
Следствие
1. Если
,
то при
функция выпуклая в окрестности точки
,
при
функция выпуклая вниз, т.е. вогнутая.
Следствие
2. Если
,
а
,
то
-точка
перегиба.
Следствие
3. Пусть
непрерывно дифференцируемая в
и
существует в
,
за исключение может быть точки
.
Тогда, если
изменяет знак при переходе через точку
,
то
-точка
перегиба функции
.
Кроме того, если
существует, то
.
Пример 6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
;
;
;
точка
перегиба т.к.
.
в т.
неопределенна.
,
поэтому x=0
– точка
возврата (рис.6)
Рис.6
Асимптоты.
Определение
6. Прямая
называется вертикальной
асимптотой
функции
,
если хотя бы один из пределов
или
равен
или
.
Пример
7. 1)
Функция
имеет
вертикальную
асимптоту
(рис.7), т.к.
Рис.8
Рис.7
2)
;
.
Прямая
x=0-вертикальная
асимптота (рис.8).
Определение
7. Прямая
называется
наклонной
асимптотой
функции
при
,если
(9)
Теорема 11. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой функции при необходимо и достаточной, чтобы существовали пределы:
(10)
□ Необходимость. Пусть - наклонная асимптота к графику при . Тогда из (8) имеем
;
(
)
т.е.
и
.
Необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть
существуют пределы (10). Тогда из второго
равенства (9) следует, что
т.е прямая является наклонной асимптотой
при
.
Аналогично при
.
■
Пример
8. Найти
асимптоты функции
.
Асимптотами являются прямые x=-1 и y=x+2.
Схема полного исследования функции. Для построения графика функции необходимо исследовать функцию по следующей схеме:
1. Область определения. Точки разрыва.
2. Четность, нечетность, периодичность.
3. Асимптоты.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Интервалы монотонности и экстремумы.
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
7. Построение графика.
Пример 9.
Исследовать
функцию
и построить график (рис.9).
Рис.9