Глава 5. Приложения производной
5.1. Правило Лопиталя
Наряду с основным
приемом нахождения пределов функции -
методом выделения главной части,
существуют и другие способы отыскания
пределов. Здесь будут представлены три
теоремы, с помощью которых можно находить
пределы типа
.
Теорема
1. Пусть
функции
и
удовлетворяют условиям:
а)
определены и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки
за исключением может быть самой точки
;
б)
пусть также
;
в)
в проколотой окрестности точки
;
г)
существует
,
тогда
существует
,
причем
□
По условию
и
.
Доопределим
и
в точке
,
а именно положим
.
Так как
и
дифференцируемы в окрестности точки
,
то они непрерывны в этой окрестности
точки
,
то есть на отрезке
.
По условию,
откуда
следует, что
при
.
Тогда можно записать формулу Коши на
сегменте
.
.
Если
,
то
+0,
следовательно
.
Аналогично, если
и
.
■
Теорема 2. Пусть функции и удовлетворяют условиям :
а) определены и
дифференцируемы при
:
б)
:
в)
:
г) существует
предел
,
Тогда существует
и предел
, причем они равны, т.е.
□
Без ограничения
общности можно считать, что
.
Сделаем замену
.
Тогда, очевидно, что функции
и
определены в интервале
и
.
,
.
Тогда
в силу теоремы 1, имеем :
.
Теорема
справедлива, и если
.
■
Теорема 3. Пусть функции и :
а) определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением может быть самой точки ;
б)
;
в)
;
г) существует
предел
.
Тогда существует
предел
,
причем
.
Замечание 1. В силу теорем 1-3 существует общий способ нахождения предела отношения двух функций, основанный на равенстве . Этот способ называется правилом Лопиталя.
Замечание
2. Если для
производных
и
выполняют условия теорем 1-3, то правило
Лопиталя можно применить повторно, т.е.
.
Пример 1. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
1)
.
2)
.
3)
.
Кроме неопределенностей
и
встречаются еще неопределенности других
типов.
Под раскрытием
неопределенности типа
понимают нахождение предела
,
когда
и
.
Под неопределенностью
типа
понимают нахождение предела
,
если
и
.
Есть
и другие неопределенности:
;
;
.
Неопределенности типа и сводятся к неопределенностям или путем алгебраических преобразований.
Другие неопределенности
обычно сводятся к неопределенностям
или
путем логарифмирования выражения
Пример 2. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
5.2. Формула Тейлора
Здесь будет доказана формула, которая является одной из основных в математическом анализе и имеет многочисленные приложения, как в самом анализе, так и в других дисциплинах.
Теорема
4. (Тейлор).
Пусть функция
имеет в некоторой окрестности т.
(n+1)-ю
производную,
x
– любое значение аргумента из этой
окрестности и p
– произвольное положительное число.
Тогда между точками
и
найдется
также точка
,
что будет справедлива формула Тейлора.
,
(1)
где
.
(2)
Выражение
называется
остаточным
членом в формуле Тейлора,
записанным в общей форме или в форме
Шлемильха-Роша.
□
Обозначим
многочлен,
стоящий в (1), т.е.
Тогда формула (1) имеет вид
или
(3)
Ф
ормула
Тейлора (1) будет доказана, если будет
установлено, что
определяется
по формуле (2).
Возьмем в окрестности точки некоторое число
и
рассмотрим отрезок
.
Рассмотрим вспомогательную функцию
переменной t
,
которую получим из (3):
(4)
Эта функция
удовлетворяет условиям т. Ролля по
переменной t.
Она непрерывна и дифференцируема на
,
т.к.
дифференцируема
раз. Вычислим значения на концах отрезка
.
Запишем
подробнее:
на
.
,
т.е.
При
имеем
из формулы (3) по
определению
.
Т.е.
.
Тогда по теореме Ролля
,
что
.
Найдем
:
.
Таким
образом
.
.
.
.
Таким образом доказано, что остаточный член имеет вид (2), если имеет место формула (1). ■
Замечание
1. Ясно, что
аналогичное доказательство будет, если
,
т.е. если брать точку
слева от точки
.
Замечание
2. Если
,
то формула Тейлора называется формулой
Маклорена и имеет вид:
.
(5)
Замечание 3. Рассмотрим частный случай, разложение по формуле Тейлора алгебраического многочлена, т.е.
.
Так
как
, то
,
и формула принимает вид:
.
Здесь
-
любая точка вещественной прямой. Таким
образом, любой многочлен можно представить
как многочлен по степени
,
где
- любое число.
Замечание
4. Обозначим
,
.
Тогда
:
и формула Тейлора в дифференциальной
форме будет иметь вид:
или
.
Формула Тейлора выведена с остаточным членом в общей форме. Существуют и другие виды остаточного члена.
Обозначим
,
.
Положим
.
Тогда
.
или
.
Такой вид остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа.
2) Положим
.
Тогда
,
.
.
или
- остаточный
член в форме Коши.
3) Пусть функция
непрерывна в точке
,
следовательно функция
также непрерывна в точке
,
т.к.
при
,
т.е.
при
.
Запишем формулу Тейлора с остаточным
членом
и
затем преобразуем её:
.
.
т.к.
при
.
Таким
образом
.
Последнее слагаемое
называется остаточным членом в формуле Пеано. Итак
.
Очевидно,
что разные формы остаточного члена
верны и при
,
т.е. при
.