Скачиваний:
5
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
40.8 Кб
Скачать
  1. Предельная точка, но не внутренняя

  2. Предельная точка и внутренняя

Все точки интервала - внутренние, а все точки - изолированные

Определение 28.

Множество Х – называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки - замыкание

Определение 29.

Множество Х – называется открытым, если каждая его точка внутренняя

- открытое - замкнутое - неоткрытое и незамкнутое

Теорема 9.

Если х – предельная точка множества Х, то любая её окрестность содержит бесконечное число точек множества Х

Доказательство: От противного.

Предположим, что которая содержит конечное число точек множества Х

Ясно, что расстояние между

Тогда

Это невозможно, так как х – предельная точка

§1.6 Комплексные числа

С – множество всех упорядоченных пар действительных чисел

Сумма двух упорядоченных пар

Произведение двух пар

Назовем равным

Определение 30.

Множество с определенными на нем операциями «+» и «*» называется множество комплексных чисел

Частный случай

Получаем числа такой же структуры, после умножения комплексного числа получаем число вида c поэтому числа вида - можно отожествить с вещественным числом х

Таким образом, все вещественные числа вложены в множество комплексных чисел

Рассмотрим

Тогда Мнимая единица, тогда любое комплексное число

- комплексное число в алгебраической форме

X - действительная часть числа

y - мнимая часть

Для комплексных чисел имеют место свойства, что и для действительных чисел

Обратное комплексное число

Таким образом, отсюда ясно, что при выполнении арифметических операций над комплексными числами в алгебраической форме нужно действовать по правилу с обычными двучленами, учитывая, что

- комплексно – сопряженное с числом Z

Для комплексно-сопряженных чисел свойства:

1)

2)

3)

На множестве комплексных чисел можно решать квадратные уравнения с отрицательным D

Основная теорема алгебры

Любой многочлен имеет ровно n корней, с учетом кратности

Прямоугольная система координат – декартова система, ОМ – является геометрической интерпретацией комплексного числа, ясно, что множество точек плоскости Оху и множество комплексных чисел – эквивалентны

- (длина вектора) модуль комплексного числа Z

Полярный угол - угол между положительным направлением Ох и ОМ называется аргументом числа Z

- комплексное число в тригонометрической форме

Операции «*», «/» и возводить в степень и извлечение удобно проводить для комплексных чисел в тригонометрической форме

Муавра

Доказательство:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]