5. Действительные числа. Взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками числовой прямой.

Установим взаимно-однозначные соответствия между множеством действительных чисел и множеством точек на бесконечной прямой

Рассмотрим прямую, на которой две точки, О – начало отсчета, Е – такая точка, что ОВ - масштабный отрезок, точке О поставим 0, так что 0,000…0…=0

А) произведение точки М поставим соответствие некоторое вещественное число, указав каким образом образована бесконечная десятичная дробь

Которой будет соответствовать точка М, число положим равным максимальному числу отрезков ОЕ, которое укладывается ОМ, если остатка не получатся х=

Если остается остаток М1М ОЕ, , то в качестве возьмем наибольшее число отрезков ОЕ, укладывающееся в отрезке ОЕ

если остатка не остается, то х =

остаток то в качестве цифры возьмем максимальное число отрезков целиком укладывающихся в

ч.т.д.

бесконечную десятичную дробь каждой очке соответствует бесконечная десятичная дробь

Покажем, что каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой. Воспользуемся аксиомой Кантора, которая утверждает, для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка М всем отрезкам одновременно

некоторое число, - его нижнее приближение, - его верхнее n- значное приближение

ональное число будет соответствовать точке следующим образом

ональное число , будет соответствовать МН

выполняются такие неравенства, то отрезки вложены в друг друга. Следовательно, в силу построения образом точки М и будет являться число

6. Ограниченные подмножества множества r. Числовые грани множества r. Теорема 1 о существовании и .

Ограниченные подмножества множества R.

подмножество множества всех действительных чисел)

Определение 20. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу) если существует такое число М

выполняется неравенство

Определение 21. Множество Х называется ограниченным сверху и снизу

Определение 22.

Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих множество Х сверху называется точной гранью

А наибольшее среди всех чисел, ограничивающих множество Х снизу, называется точной нижней гранью

Из определения ясно, что если нижняя и верхняя грань существует, то она единственная, так как на всяком множестве чисел существует единственное наименьшее и наибольшее число

Теорема 7.

Пусть Х – некоторое подмножество множества действительных чисел, тогда, если Х ограничено сверху, то существует точная верхняя грань, а если ограничена снизу, точная нижняя грань

Без доказательств

Теорема 8. (Дедекинд – об отделимости множеств)

Пусть Х и У – два подмножества действительных чисел, удовлетворяющих условие

А)они не пустые

Б)

В) если и

Тогда существует одно и только одно единственное число

С – лежит между ними и это число будет либо наибольшим в Х либо наименьшим в У

Доказательство:

так как , то любой элемент множества У является верхней гранью множества Х, а любой элемент множества Х – является нижней гранью множества У

По теореме 7 , покажем, что , ясно, что

Тогда существует такое число х, лежащее , что противоречит двум условиям теоремы

Получим

Получим, что

Докажем единственность числа с. От противного

Предположим, что существует еще одна точка с’, такое что с и она удовлетворяет условиям теоремы

Возьмем (лежащие между ними)

Из условия

Это противоречие условию в и следовательно, с - единственное

Ограниченные подмножества множества R.

подмножество множества всех действительных чисел)

Определение 20. Множество Х называется ограниченным сверху (снизу) если существует такое число М

выполняется неравенство

Определение 21. Множество Х называется ограниченным сверху и снизу

Определение 24.

Точка х называется предельной точкой множества Х, если любая её сколь угодно малая окрестность содержит хотя бы одну точку

Определение 25.

Точка , называется изолированной точкой множества, если она не является предельной точкой (существует окрестность в точке х, в которой нет других точек этого множества)

Определение 26.

Точка х называется точкой прикосновения множества Х, если любая - окрестность содержит хотя бы одну точку этого множества

Определение 27.

Точка х называется внутренне точкой множества Х, если она этому множеству вместе со своей окрестностью (если в любой ей окрестности есть точки х)