Преобразования Фурье, Лапласа и Карсона-Хэвисайда
Во многих задачах практики удобно использовать в качестве типовых воздействий гармонические колебания всех возможных частот. Известно, что при весьма общих условиях любую функцию можно разложить в ряд Фурье или представить интегралом Фурье. Поэтому, зная реакцию линейной системы на гармонические колебания всех возможных частот и пользуясь принципом суперпозиции, можно определить реакцию системы на произвольное возмущение.
Непериодическая функция f(t ), определенная на всей оси t, может быть представлена в форме интеграла (1), который называется интегралом Фурье.
(1)
Можно представить себе, что функция f (t ) образуется суперпозицией синусоидальных колебаний всех частот, причем амплитуды этих колебаний даются формулой (2).
(2)
Интеграл (2) можно рассматривать как некоторое преобразование (или оператор), который функции f (t ) ставит в соответствие функцию y(w), называемую изображением Фурье функции f (t ). При этом саму функцию f (t ) называют оригиналом. Зная изображение y(w), можно найти оригинал f(t ) по формуле (1), которая называется обратным преобразованием Фурье. Таким образом, формулы (2) и (1) задают соответственно прямое и обратное преобразования Фурье.
Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и может применяться для так называемых абсолютно интегрируемых функций времени.
От этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями:
(3)
(4)
причем функция времени должна быть равна нулю (f (t ) = 0) при t < 0. В отличие от преобразования Фурье здесь изображение функции времени является функцией не частоты, а некоторой комплексной величины p = с + j w. Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство
Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в регулировании, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т.е. с = 0. Поэтому для этих функций преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановку p = j w.
Уравнения (3) и (4) часто записывают в сокращенном виде:
(5)
В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется преобразование Карсона - Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополнительным умножением на величину р:
(6)
(7)
Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона - Хевисайда существует соотношение
(8)
Преобразование Карсона - Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый операторный метод Хевисайда, который, по сути дела, использовал преобразования (6) и (7).
Кроме того, удобство преобразования Карсона - Хевисайда заключается в том, что изображение постоянной величины A, точнее, ступенчатой функции A* 1(t ), равно самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (6). Поэтому во многих случаях преобразование Карсона - Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений.
Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона - Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.