15. Теорема Крамера.

Гипотеза Крамера — теоретико-числовая гипотеза, сформулированная шведским математиком Крамером в 1936 году,[1] утверждающая, что

где   обозначает n-е простое число, а O — это O большое. Грубо говоря, это означает, что пробелы между последовательными простыми всегда маленькие. Эта гипотеза пока не доказана и не опровергнута.

Эвристическое обоснование

Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели (существенно эвристической) распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно  . Эта модель известна как Модель Крамера'простых. Крамер доказал в своей модели, что упомянутая гипотеза истинна с вероятностью 1.[1]

[править]Доказанные результаты о пробелах между простыми числами

Крамер также дал условное доказательство более слабого утверждения о том, что

предполагая истинной гипотезу Римана.[1]

С другой стороны, E. Westzynthius доказал в 1931 году, что величина пробелов между простыми более чем логарифмическая. То есть,[2]

[править]Гипотеза Крамера-Грэнвилля

Даниэль Шенкс предложил гипотезу об асимптотическом равенстве для наибольших пробелов между простыми, несколько более строгую, чем гипотеза Крамера.[3]

В вероятностной модели,

 с 

Но константа   возможно не такая, как для простых, по теореме Майера. Эндрю Грэнвилль в 1995 году утверждал, что константа  [4], где   — постоянная Эйлера

Thomas Nicely вычислил много наибольших пробелов между простыми.[5] Он проверил качество гипотезы Крамера, измерив частное R логарифма простых к квадратному корню из размера пробела между простыми; он писал, «Для наибольших известных пробелов, R остается равным примерно 1,13,» что показывает, как мининмум в диапазоне его вычислений, что грэнвиллево улучшение гипотезы Крамера видится как лучшее приближение для данных.

16. Метод Гаусса.

Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные[2]. Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица   называется основной матрицей системы,   — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  [3].

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где  , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть   для любых  .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

17. Базисные решения системы.

Радиально-базисные функции

Искусственные нейронные сети, использующие в качестве активационных функций радиально-базисные (такие сети сокращённо называются RBF-сетями). Общий вид радиально-базисной функции:

, например, 

где   — вектор входных сигналов нейрона,   — ширина окна функции,   — убывающая функция (чаще всего, равная нулю вне некоторого отрезка).

Радиально-базисная сеть характеризуется тремя особенностями:

1. Единственный скрытый слой

2. Только нейроны скрытого слоя имеют нелинейную активационную функцию

3. Синаптические веса связей входного и скрытого слоев равны единице

18. Системы линейных однородных уравнений.

Эквивалентные системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот.

Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.

Система линейных алгебраических уравнений

эквивалентна системе

,

где   — невырожденная матрица.

В частности, если сама матрица   — невырожденная, и для неё существует обратная матрица  , то решение системы уравнений можно формально записать в виде

.