Свойства определителей.
Свойства определителей
Определитель — кососимметричная полилинейная
функция строк (столбцов) матрицы.
Полилинейность означает, что определитель
линеен по всем строкам (столбцам): 
,
где 
и т. д. —
строчки матрицы, 
—
определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).
С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
Обратная матрица.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Свойства обратной матрицы
,
где 
обозначает определитель.
для
любых двух обратимых матриц
и
.
где 
обозначает
транспонированную матрицу.
для
любого коэффициента 
.
Если
необходимо решить систему
линейных уравнений 
,
(b — ненулевой вектор) где 
—
искомый вектор, и если 
существует,
то 
.
В противном случае либо
размерность пространства решений
больше нуля, либо их нет вовсе.
[править]Способы нахождения обратной матрицы
Ранг матрицы.
Рангом системы
строк (столбцов) матрицы
с 
строк
и 
столбцов
называется максимальное число линейно
независимых строк (столбцов).
Несколько строк (столбцов) называются
линейно независимыми, если ни одна из
них не выражается линейно через другие.
Ранг системы строк всегда равен рангу
системы столбцов, и это число называется
рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Ранг
матрицы — Размерность образа 
линейного
оператора, которому соответствует
матрица.
Обычно
ранг матрицы
обозначается 
(
)
или 
.
Оба обозначения пришли к нам из иностранных
языков, потому и употребляться могут
оба. Последний вариант свойственен
для английского языка,
в то время как первый —
для немецкого, французскогои
ряда других языков.
Определение
Пусть 
—
прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы является:
нуль, если — нулевая матрица;
число 
,
где 
—
минор матрицы
порядка 
,
а 
—
окаймляющий к нему минор порядка 
,
если они существуют.
Теорема
(о корректности определения рангов). Пусть
все миноры матрицы
порядка 
равны
нулю (
).
Тогда 
,
если они существуют.