14.3. Уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости.

Теорема 14.2. Каждая плоскость задается в декартовых координатах линейным

уравнением.

	Рис.14.1

 Каждая плоскость p задается лежащей на ней точкой и перпендикулярным к ней ненулевым вектором (рис.14.1). Этот вектор будем на­зывать нормальным вектором пло­скости или нормалью к плоскости. Введем какую-нибудь декартову систему координат Оx,у,z и пусть и имеют координаты , =(А, В, С). Пусть М (x,у,z) - произвольная точка. Для того чтобы М принадлежала плоскости p, необходимо и доста­точно, чтобы вектор был перпендикулярен вектору , т. е. чтобы выполнялось равенство

( , ) = 0.

Записывая его в координатах, получим уравнение плоскости

. (14.1)

Раскрыв скобки и обозначив , получаем эквивалентное уравнение

(14.2)

Эти уравнения линейное. 

Теорема 14.3. Всякое линейное уравнение задает в декар­товых координатах некоторую плоскость.

Рассмотрим произвольное линейное уравнение (14.2) . Так как хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля, то это уравнение имеет бесконечное множе­ство решений. Выберем произвольно одно из них . Тогда имеет место равенство

(14.3)

Вычитая почленно из уравнения (14.2) равенство (14.3),получим уравнение, равносильное уравнению (14.3):

. (14.4)

Последнее уравнение задает плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную вектору . Следовательно, равносильное ему уравнение (14.4) задает ту же плоскость. ■

- общее уравнение плоско­сти.

- уравнение плоскости, проходящей

через точку

При этом коэффициенты A, B, С уравнения являются координатами нормального вектора плоскости.

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравне­ния плоскости.

Пусть один из коэффициентов в уравнении равен нулю. Например, А = 0. Тогда нормальный вектор перпендикулярен оси Ox. Следовательно, плоскость, заданная уравнением вида By + Cz + D = 0, параллельна оси Ox.

Если равны нулю два коэффициента, например, А и B, то плоскость задается уравнением вида Cz + D = 0 и параллельна координатной плоскости Oxy.

Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат.

z = 0 - плоскость Oxy.

Нормальное уравнение плоскости

Любое уравнение плоскости можно привести к нормальному виду. Для этого достаточно обе части уравнения разделить на , тогда

- нормальное уравнение плоскости.

Уравнением плоскости в отрезках

Если , то уравнение (14.3) можно представить в виде

(14.5)

где - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Ox, Oy, Оz соответственно. Уравнение (14.5) называется уравнением плоскости в отрезках.

Векторное уравнение плоскости.

Обозначим через радиус-вектор точки М, а через радиус-вектор точки . Тогда уравнение (14.4) примет вид:

Это уравнение называется векторным уравнением плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки общего положения.

	Рис14.2

Любые три точки, не лежащие на одной пря­мой, задают содержащую их плоскость. Пусть в пространстве введена декартова система координат и заданы три точки , , , не лежащие на одной прямой (рис.14.2).

Для того чтобы произвольная точка М (х, у, z) принадлежала плоскости (М₁ М₂ М₃), необходимо и достаточно, чтобы векторы были компланарны, тогда уравнение плоскости в координатной форме равно,

Параметрическое уравнение плоскости

Зададим плоскость при помощи точки М₀ и двух неколлинеарных векторов и , которые параллельны . Они однозначно определяют плоскость, так как через точку можно провести только одну плоскость параллельную векторам и .

Пусть точка произвольная точка плоскости . Тогда вектор по правилу параллелограмма равен

(14.6)

Это параметрическое уравнение плоскости в векторной форме. Запишем это уравнение в координатной форме. Пусть векторы , , имеют координаты , , . Тогда

(14.7)

Установим связь между общей и параметрической формой записи уравнения плоскости. Поскольку векторы , , компланарны, то они линейно зависимы, тогда

=0

Это уравнение плоскости проходящей через точку. Раскрыв скобки и приводя подобные, можно получить общее уравнение плоскости.