Линейная алгебра Л.14 стр. 6 09.03.25

Лекция 14

14.1 Пучок прямых на плоскости

Множество всех прямых плоскости, проходящих через одну и ту же точку S этой плоскости, называется пучком прямых с центром в точке S.

Из этого определения следует, что пучок однозначно задается ука­занием точки — центра пучка. Любую точку можно задать как пересе­чение двух прямых. Такой способ задания выгоден еще и тем, что с помощью уравнений пересекающихся прямых однозначно определяется уравнение пучка прямых.

Пусть прямые d и d', пересекающиеся в точке , заданы уравнениями:

,

Составим уравнение

, (*)

где и — действительные числа, одновременно не равные нулю, .

Теорема 14.1. Уравнение — уравнение пучка с центром в точке S.

При любых значениях и , (*) — уравнение первой степени, так как не может быть одновременно , .

Действительно, в противном случае, считая для определенности , получим - , а по условию . Из полученного противоречия следует, что (13.14) — урав­нение некоторой прямой. Придавая различные значения и , кроме = = 0, получим различные прямые. Все эти прямые проходят через точку (ее координаты удовлетворяют всем указанным уравне­ниям).

Для завершения доказательства достаточно убедиться в истинности утверждения: какова бы ни была прямая l пучка S, найдется пара такая, что прямая совпадает с прямой l.

Прямая l определя­ется двумя точками: точкой и некоторой точкой .

Пару найдем следующим образом. Если , то положим . В этом случае . Если , то пару опре­делим с помощью равенства: . Так как , то . Тогда (в противном случае, если , то и ). Поэтому, полагая , найдем искомую пару .Итак, (*) - уравнение пучка прямых с центром в точке S.

14.2. Полуплоскость.

Прямая, лежащая на плоскости, раз­бивает эту плоскость на две полуплоскости, общей границей которых она является. Пусть прямая l задана в некоторой декартовой системе координат общим уравнением: Ах + By + С = 0.

	Рис.13.2

Из произвольной точки этой прямой отложим нормальный вектор ={А, B} (рис.13.2). Полуплоскость, ограниченную прямой l, и в которую направлен вектор , обозначим через , другую полуплоскость — через . Для того чтобы точка М(x,у) принадлежала полуплоскости , необходимо и доста­точно, чтобы угол между векторами и был не больше прямого. Это равносильно условию ( , ) > 0. Выражая это неравенство через координаты, получим

Так как точка принадлежит прямой l, то неравенство, задающее полуплоскость , можно записать в виде

Ax + By + C 0.

Полуплоскость задается неравенством

Ax + By + C 0.

Каждая из открытых полуплоскостей с границей l задается одним из неравенств

Аx + By + C > 0, Ax + By + C < 0.

Пример 5. Определить, принадлежат ли точки A(2, -1) и B(3, 1) одной или разным полуплоскостям, на которые прямая 5х - 3у - 18 = 0 разбивает плоскость.

Так как координаты точек А и В являются решениями одного и того же неравенства 5х - 3у - 18 < 0, то они принадлежат одной полуплоскости.