
Геометрия Л.06 стр.
Лекция 13
Цель лекции - изложение начал аналитической геометрии.
Тема 13. Геометрические образы на плоскости и в пространстве
13.1. Уравнение фигуры на плоскости
Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости будем называть множество точек на плоскости. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными x и y будем записывать в виде F(x, у) = 0.
Выберем
на плоскости некоторую прямоугольную
систему координат. В этой системе
координат уравнение F(x,
у)
= 0
называется уравнением
фигуры
при выполнении следующих двух условий:
1) если точка M(а,b) принадлежит фигуре , то координаты (а,b) точки М являются решением уравнения F(x, у) = 0, т. е. F(a, b) = 0 — верное числовое равенство;
2) если же пара чисел (с, d) является решением уравнения F(x,у) = 0, то точка N, координатами которой служат числа c и d, принадлежит фигуре .
Из определения уравнения фигуры следует, что фигура состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения F(x,у) = 0, т. е. уравнение фигуры задает эту фигуру.
Возможны два вида задач:
1) дано уравнение F(x, у) = 0, и надо построить фигуру , уравнением которой является F(x, у) = 0;
2) дана фигура , и надо найти уравнение этой фигуры.
Первая задача сводится к построению графика уравнения F(x, у) = 0 и решается чаще всего методами математического анализа.
Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:
1) задать фигуру геометрически, т. е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2) записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.
Пример.1.
Окружность
Ф с центром в точке О
и
радиусом R
задается
условием M
Ф
, где
—
расстояние
между точками O
и
М.
Запишем это условие в координатах. Пусть
центр O
окружности
имеет координаты (а,b),
а
через (x,у)
обозначим
координаты произвольной точки. Тогда
условие
в координатах имеет вид
=
.
Последнее уравнение, называется каноническим уравнением окружности с центром в точке O(а, b) и радиусом R.
13.2. Уравнения прямой на плоскости
Основная цель этого параграфа - доказать, что прямая на плоскости в декартовых координатах задается линейным уравнением, а каждое линейное уравнение задает на плоскости прямую.
Напомним, что линейным уравнением (относительно переменных x и у) называется уравнение вида
Ах + By + C = 0, (13.1)
в
котором коэффициенты A,
В не
равны нулю одновременно, т.
е. пара (А,
В)
(0,
0).
Чтобы написать уравнение прямой l, ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые, конечно, равносильны, так как имеют одно и то же множество решений — координаты точек прямой l.
Общее уравнение прямой на плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 13.1 |
|





А (х-х0) + B(у-у0) = 0. (13.2)
Это уравнение линейное. Таким образом, доказана
Теорема 13.1. Всякая прямая на плоскости задается линейным уравнением.
Вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой. Уравнение (13.1) не зависит от выбора нормального вектора, поскольку все векторы, перпендикулярные l, коллинеарны и их координаты пропорциональны.
Теорема13.2. Всякое уравнение первой степени Ax + By + С = 0 задает на плоскости с декартовыми координатами x, у некоторую прямую, перпендикулярную вектору N= Ai + Bj.
□ Так как хотя бы один из коэффициентов A, В отличен от нуля, то уравнение (13.1) имеет бесконечно много решений. Выберем произвольно одно из них — . Тогда
Ах0 + Ву0 + С = 0. (13.3)
Вычитая почленно (13.3) из (13.1), получим уравнение
А (х-х0) + B(у-у0) = 0, (13.4)
равносильное
уравнению (13.1). Как уже доказано, уравнение
(13.2) задает прямую l,
проходящую через точку
,
перпендикулярную
вектору N
= Ai
+ Bj.
Так
как уравнения (13.1) и (13.4) равносильны, т.
е. имеют одно и то же множество решений,
то уравнение (13.1) задает прямую l.
Уравнение (13.1) называется общим уравнением прямой.
Пример 2. Дана прямая 3x - у + 4 = 0. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (-1, 2) параллельно данной прямой.
Из теоремы 13.2 следует, что вектор v = (3, -1) перпендикулярен данной прямой. Так как данная и искомая прямые параллельны, то вектор v = (3, -1) перпендикулярен искомой прямой. Тогда прямая, параллельная данной, имеет уравнение 3(х+1)-(у-2) = 0 или 3х – у + 5 = 0.
Пример 3. Даны вершины треугольника A(1, -1), В(-2, 1), С(2, 4). Написать уравнение высоты AD, опущенной из вершины A на сторону ВС.
Решение. Высота AD перпендикулярна вектору ВС = (4, 3) и проходит через A(1, -1), и согласно теореме 13.1 ее уравнение имеет вид 4(x - 1) + 3(у + 1) = 0 или 4х + 3у - 1 = 0.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Общим уравнением задается прямая при любом ее расположении относительно осей координат. Рассмотрим теперь прямые, не параллельные оси Oу. Для таких прямых удобно пользоваться так называемым уравнением с угловым коэффициентом.
Пусть l — прямая, не параллельная оси Oу, заданная общим уравнением
Ах + By + С = 0 (13.5)
Так как l D Oу, то В 0, и, следовательно, уравнение (13.5) можно переписать в виде
Ax
+ By
+ C
=
0
(13.6)
где
- угловой коэффициент
прямой l,
- свободный член.
Коэффициенты в этом уравнении имеют «наглядный смысл». Ясно, что коэффициент b есть ордината точки пересечения прямой l с осью Oу. Выясним геометрический смысл k.
Пусть
l
пересекает ось Ox
в некоторой точке P.
Эта
точка разбивает прямую l
на два луча, один из которых Г
лежит
в полуплоскости у
>
0. Углом между прямой
l
и осью Ox
назовем
угол
между лучом Г
и
положительным направлением оси Ox.
Тогда
угловой коэффициент равен
тангенсу угла
k
= tg
. Если l
параллельна оси Ox
или совпадает
с ней, то естественно считать, что
= 0.
Еще раз отметим, что уравнение (13.6) вводится лишь для прямых, не параллельных оси Oy (иначе k = 4).
Векторное уравнение прямой.
Пусть
дана какая-нибудь точка
и вектор
0,
который считаем приложенным к точке
:
=
Эти данные определяют прямую l как геометрическое место концов всевозможных векторов вида
= t
,
(13.7)
где t пробегает все вещественные числовые значения. Вектор = , очевидно, является направляющим вектором прямой. Можно сказать, что наша прямая есть геометрическое место всех точек М, удовлетворяющих уравнению (13.7), а само это уравнение можно назвать уравнением прямой в векторной форме (или векторным уравнением прямой). Ясно, что каждая прямая может быть задана, таким образом, какой-нибудь своей точкой и направляющим вектором = . Существенным преимуществом уравнения (13.7) является то, что оно позволяет задать прямую не только на плоскости, но и в пространстве.
Параметрическое уравнение прямой
Записав векторное уравнение прямой в координатах, мы получим ее параметрическое уравнение. На плоскости оно имеет вид
,
(13.8)
где
,
{а,
b}
—
координаты направляющего вектора
=
.
Пример 4. Написать параметрическое уравнение прямой 2х + у — 1 = 0. Полагаем x = t. Из уравнения данной прямой находим у = 1 — 2х. Наконец,
- параметрическое уравнение данной прямой, оно равносильно данному уравнению.
Пример
5.
Написать общее уравнение прямой
.
Исключая параметр t из системы, получим общее уравнение данной прямой -2x+y+5=0.
Каноническим уравнением прямой на плоскости
Система уравнений (13.8) равносильна одной пропорции
,
(13.9)
называемой каноническим уравнением прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Если
прямая задана двумя своими точками
и
,
то
ее направляющий вектор
=
имеет
координаты
,
и
уравнение (13.9) превращается в
.
(13.10)
Это и
есть уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки
=
(
)
и
=
(
).
Пример 13. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A(1,2) и B(-3,1).
Вектор
АВ
= (-4,
-1) параллелен прямой l
, а точка A(1,
2) принадлежит этой прямой. Следовательно,
каноническое уравнение прямой
l
имеет вид
,
а уравнение прямой, проходящей через
две точки
.