Кисляков Н.И. Линейная алгебра Л.12 стр. 6 09.03.25

Лекция 12

12.1 Скалярное произведение n-мерных векторов

Скалярным произведением n-мерных векторов называется число

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для ска­лярного произведения векторов. Пусть A, В, С - n-мерные векторы, тогда:

1) АВ = ВА;

2) k(AB) = (kA)B = A(kB), где k - число;

3) (А + В)C = АС + ВС;

4) АА 0 при любом A, причем АА = 0 тогда и только тогда, когда A = .

Для доказательства какого-либо из свойств 1-3 надо найти числа, находящиеся в левой и правой частях этого соотношения, и убедиться в том, что они равны. Например, если , то

,

Для доказательства свойства 4 найдем величину АА:

=

Отсюда следует, что АА 0 и

АА = 0 = 0 A = .

Длиной n-мерного вектора A называется число . Длину векто­ра A будем обозначать символом :

. (*)

Из свойства 4 скалярного произведения векторов вытекает, что каж­дый n-мерный вектор A обладает длиной, причем нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Скалярное произведение АА называется скалярным квадратом вектора A и обозначается символом . Из формулы (*) следует, что , т. е. квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.

Теорема 12.12. Если A и B - n-мерные векторы, то справедливы сле­дующие числовые соотношения:

1) , где k- число;

2) (неравенство Коши — Буняковского);

3) (неравенство треугольника).

□1. .

2. Рассмотрим вектор C = B - A(АВ). Вычислим квадрат длины вектора C:

C² = (A²)²B² - 2A²(AB)(AB) + (AB)²A² = (A²)²B² - A²(AB)² = (A²B² - (AB)²).

Из свойства 4 скалярного произведения вытекает, что 0 (А²В² - (АВ)²) 0. Так как 0, то из последнего неравенства получаем А²В² - (АВ)² 0 или А²В² (АВ)^2. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем: .

3. Так как и то АВ .

На основании этих неравенств имеем

= + 2АВ + В²

т. е .

Отсюда ■

Следствие. .

12.2 Угол между n-мерными векторами

Из неравенства Коши — Буняковского следует - или

(12.1)

Углом между ненулевыми n-мерными векторами A и B называется решение уравнения

, (12.2)

которое принадлежит отрезку .

Из условия (12.1) следует, что урав­нение имеет решение при любых . Так как уравнение (12.2) имеет на отрезке единственное решение, то угол между векторами A и B определен однозначно.

Перепишем соотношение (12.1) в виде АВ = cos . Отсюда сле­дует, что скалярное произведение векторов A и B равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Геометрические характеристики векторов — длина вектора и угол меж­ду векторами - позволяют сформулировать критерий равенства n-мерных векторов.

Теорема 11.1. Ненулевые n-мерные векторы A и В равны тогда и только тогда, когда угол между ними равен нулю и длины этих векто­ров равны.

□ Необходимость. Дано A = B. Тогда значит

Достаточность. Дано и . Для доказательства равен­ства векторов

A и B рассмотрим скалярный квадрат (А - В)²:

(А - В)² = А² -2АВ + В² =

т. е. (А - В)² = 0. Из свойства 4 скалярного произведения векторов следует A - B = или A = B. ■