44.Достатні умови екстремуму , перше правило.

Нехай а є критична точка функції , яка в цій точці є неперервною, і нехай існує окіл точки , в якому  має похідну , крім, можливо, точка а. Тоді:

1 ) якщо в інтервалі  похідна , а в інтервалі  похідна , то а є точкою максимуму функції ;

2) якщо в інтервалі , а в інтервалі  то а є точкою мінімуму функції ; 3) якщо в обох інтервалах  і  похідна має той самий знак ( набуває або тільки додатних, або тільки від’ємних значень), то  не є екстремальною точкою функції .

Перше правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію  на екстремум, треба: 1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв’язати рівняння , причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції). 2) знайти точки, в яких похідна  не існує (функція в цих точках існує); 3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

            Теорема. Нехай точка  є стаціонарною для функції  і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не

дорівнює нулю, . Тоді, якщо  то є точкою

мінімуму; якщо , - точкою максимуму функції .

            Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти: 1) стаціонарні точки заданої функції 2) похідну другого порядку в стаціонарній точці. 3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум.

43.Екстремуми функції , необхідні умови

.

42.Умова сталості та умова монотонності функції.

Моното́нна фу́нкція — це функція, приріст якої не змінює знаку, тобто завжди або невід’ємний, або недодатній. Якщо при цьому приріст ще і не дорівнює нулю, то функція називається стро́го моното́нною.

Приклад незростаючої функції

Нехай дано функцію Тоді

• функція називається зроста́ючою на , якщо

.

• функція називається стро́го зроста́ючою на , якщо

.

• функція називається спадною на , якщо

.

• функція називається стро́го спадною на , якщо

.

101

41.Розкриття невизначеностей.

Розкриття невизначеностей - методи обчислення меж функцій, заданих формулами, які в результаті формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази типу:

по яких неможливо судити про те, чи існують чи ні шукані межі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.

Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити межа. До того ж прямо воно застосовується лише до другого і третього з перерахованих видів невизначеностей, тобто відносин, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку привести до одного з цих.

Також для обчислення меж часто використовується розкладання висловів, що входять у досліджувану невизначеність, в ряд Тейлора в околиці граничної точки.

Для розкриття невизначеностей видів , , користуються наступним прийомом: знаходять межа (натурального) логарифма висловлювання, що містить дану невизначеність. У результаті вид невизначеності змінюється. Після знаходження межі від нього беруть експоненту.

Для розкриття невизначеностей типу використовується наступний алгоритм:

1. Виявлення старшого ступеня змінної;

2. Поділ на цю змінну як чисельника, так і знаменника.

Для розкриття невизначеностей типу існує наступний алгоритм:

1. Розкладання на множники чисельника і знаменника;

2. Скорочення дробу.

Для розкриття невизначеностей типу іноді зручно застосувати наступне перетворення:

Нехай і