48. Асимптоти графіка функції.

Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.

1Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення та виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x), коли x прямує до a, к (a +0) або до (a? 0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює +? (Або -?), То вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як себе веде функція при наближенні до асимптоти з різних сторін. 2Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1/(x?? 1). Підрахуйте межі lim (1/(x?? 1), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x = -1, так як ці межі дорівнюють +?. Нехай дана функція y = cos (1/x). У цієї функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1; +1] і її межа ніколи не дорівнюватиме ±? при будь-яких значеннях x.

3Знайдіть Тепер нахиліться асимптоти.

Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x)/x) і b = lim (f (x)? K? X) при x, що прагне до +? (Або -?). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k? X + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.

4Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2? X? (1/x). Підрахуйте межа lim (2? X? (1/x) при x, що прагне до 0. Ця межа дорівнює?. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2? X? (1/x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim (2? X? (1/x)/x) = lim (2? (1/x?) При x, що прагнуть до +?, Тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2? X? (1/x)? K? X) = lim (2? X? (1/x)? 2? X) = lim (-1/x) при x, прагнуть до +?, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2? X.

5Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (-x/3)? Sin (x) межа lim (x + e ^ (-x/3)? Sin (x) = 1 при x, що прагнуть до?, А lim (x + e ^ (-x/3)? sin (x)? x) = 0 при x, що прагнуть до?. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.

47.Випуклі функції. Умова випуклості.Точки перегину.

Опукла функція — функція, яка визначена на опуклій множині лінійного простору, і задовольняє нерівності при всіх λ з проміжку [0, 1]. Нехай область визначення опуклої функції f(x) лежить в скінченовимірному просторі, тоді f(x) неперервна в будь якій внутрішній точці цієї області. Властивості опуклих функцій Нехай x₁, ..., x_m — будь які точки із області визначення опуклої функції f(x), λ₁, ..., λ_m — невід'ємні числа, які в сумі дорівнюють 1. Тоді

.

Якщо f(x) — двічі неперервно-диференційована опукла функція, то матриця її других похідних невід'ємно визначена.

Угнута функція або увігнута функція — протилежність до опуклої функції. До угнутих функцій належать неперервні функції з від'ємною другою похідною. Довільна неперервна фукнція не обов'язково або опукла, або угнута, але вона може бути опуклою або угнутою на певних інтервалах, розділених точками перегину. Дійсна функція f визначена на інтервалі (або на будь-якій опуклій множині C деякого векторного простору) називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок x і y в її області визначення C і будь-якого t в [0,1], маємо

Функція називається строго угнутою, якщо

для будь-якого t в (0,1) і x ≠ y.

Для функції f:R→R, це означення просто стверджує, що для кожного z між x і y, точки (z, f(z)) на графіку f є вище прямої, що з'єднує точки (x, f(x)) і (y, f(y)). Функція f(x) є квазіугнутою, якщо множини верхнього контура функції є опуклими множинами. ^{ст. 116}

46.  Найбільше та найменше значення функції Нехай дано функцію , яка неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), за винятком можливо скінченого числа точок, де вона не існує. Необхідно ж знайти найбільше та найменше значення функції на цьому відрізку. А як відомо з математичного аналізу, функція, яка неперервна на відрізку, набуває на ньому свого найбільшого і найменшого значення. Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку необхідно:

1.     знайти критичні точки в інтервалі (a;b) (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує), обчислити значення функції в цих точках;

2.     м значення функції на кінцях відрізка, тобто ;

3.     серед усіх значень вибрати найбільше і найменше значення.

У випадку, коли функція монотонна на відрізку [a;b], то найбільшого і найменшого значення вона досягає на кінцях відрізка. У цьому випадку обмежуємось обчисленням значень . По-іншому складається ситуація, якщо необхідно знайти найбільше та найменше значення функції, неперервної в інтервалі (a;b). Зрозуміло, що функція у цьому випадку не може досягати найбільшого і найменшого значення на кінцях інтервалу. Наприклад, функція  в інтервалі (3;6) не має ні найбільшого, ні найменшого значення у внутрішніх точках інтервалу. У цьому випадку чинять так:

1. знаходять критичні точки, що належать цьому інтервалу, і обчислюють значення функції в цих точках; 2. знаходять ліву та праву границі відповідно в точках а і b , тобто . Якщо ці границі існують, то їх порівнюють із значеннями функції в критичних точках. Якщо виявиться, що значення в критичних точках більші(менші) за знайдені границі, то це і буде найбільшим(найменшим) значенням функції на інтервалі.