21.Правила Лопіталя розкриття невизначеностей
Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:
1)
функції
і
диференційовні
на інтервалі
,
для
всіх
;
2)
;
3)
існує скінченна або нескінченна границя
,
то
існує границя
,
причому має місце рівність:
.
(3.21)
Доведення.
Довизначимо функції
і
в
точці
так,
щоб вони стали неперервними, тобто
покладемо
.
Тепер
ці
функції на відрізку
,
(
)
задовольняють умови теореми Коші. Тому
існує точка с,
,
(
)
така, що
.
Оскільки
,
(
)
то
.
Перейшовши в останній рівності до
границі, за умови
,
отримаємо
що і потрібно було довести.
Запам’ятай
добре!
Доведену
теорему зазвичай називають правилом
Лопіталя розкриття невизначеності
за
умови
.
Аналогічні
теореми мають місце для розкриття
невизначеності
у
випадку односторонніх границь при
,
.
Наслідок
2.
Якщо похідні
і
задовольняють
ті самі вимоги, що і функції
і
,
то правило Лопіталя можна застосувати
повторно. При цьому отримаємо
.
(3.22)
І взагалі, правило Лопіталя при виконанні умов теореми можна застосовувати багаторазово.
Наслідок 3. Якщо в теоремі замінити умову 2) на наведену нижче
2)
,
або
,
то формула (3.21) також має місце.
В
цьому випадку правило Лопіталя
застосовується для розкриття невизначеності
типу
(
ІІ правило Лопіталя).
22. Формули Тейлора та Маклорена.
Для
функції, яка диференційовна
раз
включно в околі точки
має
місце формула
Тейлора:
,
.
Останній доданок у формулі Тейлора
називають
залишковим
членом у формі Лагранжа
, і якщо
похідна
обмежена, то він прямує до нуля при
.
При
ця
формула набуває вигляду:
,
де
.
Її
називають формулою
Маклорена.
.
У
точці
сама
функція
і
похідні парних порядків (
)
дорівнюють нулю, а всі похідні непарних
порядків дорівнють
.
Отже,
.
Аналогічно
записують формулу Маклорена для функції
,
а саме
За допомогою формул Тейлора і Маклорена складні функції з великою точністю замінюють многочленами, що полегшує обчислення.
23 Ознаки монотонності функції.
(Критерій монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція
неперервна
на (A, b),
і має в кожній точці
похідну
f '(x).
Тоді
f
зростає на (A, b)
тоді і тільки тоді, коли
f
убуває на (A, b)
тоді і тільки тоді, коли
(Достатня умова суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай функція неперервна на (A, b), і має в кожній точці похідну f '(x). Тоді
якщо
то
f
строго зростає на (A,
b);
якщо
то
f
строго убуває на (A,
b).
Зворотне, взагалі кажучи, невірно. Похідна строго монотонною функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі (A, b). Точніше має місце
(Критерій суворої монотонності функції, що має похідну на інтервалі) Нехай
і
всюди на інтервалі визначена похідна
f '(x).
Тоді f
строго зростає на інтервалі (A,
b) тоді і тільки
тоді, коли виконані наступні дві умови:
Аналогічно, f строго убуває на інтервалі (A, b) тоді і тільки тоді, коли виконані наступні дві умови:
