Первый замечательный п на прямой, то векторы редел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы
и
и
докажем, что они равны 1.
Пусть
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из
:
| LA | = tgx)
Подставляя в (1), получим:
Так как при
:
У
множаем
на sinx:
П
ерейдём
к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Вопрос № 27 Второй замечательный предел
Второй замечательный предел:
или
Доказательство второго замечательного предела:
Зная, что второй замечательный
предел верен для натуральных значений
x, докажем второй замечательный предел
для вещественных x, то есть докажем, что
.
Рассмотрим два случая:
1. Пусть
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами:
,
где
—
это целая часть x.
Отсюда следует:
,
поэтому
.
Если
,
то
.
Поэтому, согласно пределу
,
имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов
.
2. Пусть
.
Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Вопрос № 28
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.
Если
,
то f(x) называется бесконечно
малой высшего порядка, чем g(x)
(относительно g(x)).Если
,
то функции f(x) и g(x) называются
бесконечно малыми одногопорядка.Если
,
то f(x) называется бесконечно
малой k-го порядка относительноg(x).
Если
,
то функции f(x) и g(x) называются
эквивалентными бесконечно малыми.
В этом случае обе функции стремятся к
нулю примерно с одинаковой скоростью.
Эквивалентные бесконечно малые будем
обозначать f ≈ g.
Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела
Под знаком предела
числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные. Доказательство. Пусть в точке х = х0 имеем f (x) ~ α(x). В этом случае
,
что и требовалось доказать.
Вопрос №29 Эквивалентность , связанная с первым заметательным пределом.
Как показывает приведённый выше пример
2.36, пределы отношения бесконечно
малых можно упрощать, откидывая бесконечно
малые слагаемые большего порядка и
заменяя множители в числителе и
знаменателе на эквивалентные бесконечно
малые. Для того, чтобы этот способ
вычисления пределов (точнее, раскрытия
неопределённостей вида
)
можно было применять к возможно большему
числу примеров, мы должны иметь достаточно
большой запас известных пар эквивалентных
бесконечно малых величин. Для наиболее
употребительной базы
создадим
такой запас в виде таблицы "стандартных"
эквивалентных бесконечно малых.
Поскольку в этой таблице мы
всегда будем рассматривать базу
,
для простоты записи обозначение этой
базы будем пропускать и писать знак
вместо
.
1)
.
Эту формулу мы уже доказали и использовали
в примерах. Эквивалентность
и
при
означает
в точности, что первый замечательный
предел равен 1.
2)
.
Эта эквивалентность тоже была доказана
выше в одном из примеров.
3)
.
Докажем эту эквивалентность:
4)
.
Докажите это в качестве упражнения,
сделав замену
и
применив предыдущую табличную формулу.
5)
.
Для доказательства воспользуемся
формулой
.
Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6)
(
).
Для доказательства этой эквивалентности
сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при
,
получаем эквивалентность
)
.
7)
(
).
Для доказательства сделаем замену
и
выразим
через
:
.
Согласно формуле 6,
при
,
откуда
.
Из непрерывности логарифма следует,
что
и,
значит,
при
.
В этой формуле осталось лишь сменить
обозначение переменного
на
,
чтобы получить формулу 7.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
)
.
При .
1) |
. |
2) |
. |
3) |
. |
4) |
. |
5) |
. |
6) |
( ). |
) |
. |
7) |
( ). |
) |
. |
Вопрос №31 Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция f(x),
определенная в окрестности некоторой
точки х0, называется непрерывной
в точке х0, если предел функции
и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт
можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
П
ример
непрерывной функции:
y
f(x0)+
f(x0)
f(x0)-
0 x0- x0 x0+ x
Пример разрывной функции:
y
f(x0)+
f(x0)
f(x0)- x0 x
Определение. Функция f(x)
называется непрерывной в точке х0,
если для любого положительного числа
>0 существует такое
число >0, что для
любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство .
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + (x)
где (х) – бесконечно малая при хх0.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций
–
есть непрерывная функция при условии,
что g(x) не
равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция
непрерывна
для всех значений х, кроме тех, при
которых знаменатель обращается в ноль.
Таким образом, функция этого вида
непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:
Действительно,
имеется предел произведения двух функций
и
.
При этом функция косинус – ограниченная
функция при х0
,
а т.к.
предел функции
синус
,
то она является бесконечно малой при
х0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.
Вопрос №32 Определение точек разрыва и их классифифкация.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0 является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше)
,
то функция называется непрерывной
справа.
|
|
|
|
х0
Если односторонний предел (см. выше)
,
то функция называется непрерывной
слева.
|
|
|
|
х0
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.
Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Вопрос №33 Свойства функций, непрерывных в точке
Поскольку точки
непрерывности
функции
задаются
условием
,
то часть свойств функций, непрерывных
в точке
,
следует непосредственно из свойств
пределов. Сформулируем их в виде следующей
теоремы.
Теорема 3.1
Пусть функции
и
непрерывны
в точке
.
Тогда функции
,
,
непрерывны
в точке
.
Если
,
то функция
также
непрерывна в точке
.
Предложение 3.3
Рассмотрим множество всех функций,
определённых в некоторой фиксированной
окрестности
точки
и
непрерывных в этой точке. Тогда это
множество
является
линейным пространством, то есть замкнуто
относительно сложения и умножения на
постоянные:
Доказательство.
Действительно, постоянные
и
--
это непpеpывные функции (в любой точке);
по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны
в точке
пpоизведения
и
.
Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в
точке
и
сумма
.
Теорема 3.2
Пусть функции f и
,g таковы, что существует
композиция
,
.
Пусть функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в соответствующей точке
.
Тогда композиция
непрерывна
в точке
.
Доказательство.
Заметим, что равенство
означает,
что при
будет
.
Значит,
(последнее равенство следует из
непрерывности функции
в
точке
).
Значит,
а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .
Заметим, что, очевидно, в
предыдущих двух теоремах можно было бы
заменить базу
на
односторонние базы
или
и
получить аналогичные утверждения для
непрерывности слева или справа:
Теорема 3.3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .
Теорема
3.4 Пусть функция
непрерывна
слева (справа) в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
.
Тогда композиция
непрерывна
слева (соотв. справа) в точке
.
