22.4. Изображение периодического сигнала

Если есть –периодическая функция, то – периодический оригинал. График его есть график функции, построенный на и периодически продолженный на . Представим изображение периодического оригинала в виде

.

Во втором интеграле проведем замену переменной интегрирования . Тогда

,

отсюда . (15)

ПРИМЕР 18. Найти изображение периодического прямоугольного импульса (см. рисунок).

Решение. Вычислим интеграл

.

Применяя формулу (15), получаем изображение

.

ПРИМЕР 19. Восстановить периодический сигнал (оригинал) по известному его изображению , .

Решение. Представим в виде суммы функционального ряда, пользуясь формулой суммы убывающей геометрической прогрессии:

,

здесь для . Оригинал запишем, используя формально свойство аддитивности преобразования Лапласа для бесконечного множества слагаемых:

.

График оригинала представлен схематично на рисунке.

Задание

1. Найти изображение периодического оригинала, схематично заданного на рисунке.

Ответ: .

2. Восстановить оригинал для . Оригинал представить схематичным рисунком.

Ответ:

22.5. Восстановление оригинала

Для использования операционного исчисления при решении задач нужно не только уметь находить изображение оригинала, но и по изображению восстанавливать соответствующий ему оригинал. Для этого полезны следующие таблицы.

Таблица 1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Оригинал	Изображение
1	2
,

Окончание табл. 1

1	2
,
, – период

Таблица 2

ПРОСТЕЙШИЕ ОРИГИНАЛЫ И ИЗОБРАЖЕНИЯ

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
1	2	3	4
,
Окончание табл. 2
1	2	3	4

Здесь приведены наиболее часто встречающиеся в задачах простейшие оригиналы и их изображения. Некоторые из них были получены ранее и выделены в рамках. Остальные рассмотрены ниже в примерах.

ПРИМЕР 20. Найти оригинал для изображения .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . Коэффициенты и находим по методу неопределенных коэффициентов: , , следовательно,

.

Итак, имеем соотношение .

Аналогично устанавливаются формулы

,

.

ПРИМЕР 21. Найти оригинал для изображения .

Решение. Имеем (см. пример 7). Интегрируя оригинал (см. табл. 1), получаем

.

Рассмотрим несколько примеров нахождения изображений и восстановления оригиналов с помощью табл. 1 и 2.

ПРИМЕР 22. Найти оригинал , если его изображение есть .

Решение. Изображение разложим на простейшие дроби: . Но , . Окончательно имеем .

ПРИМЕР 23. Пусть . Найти .

Решение. .

Пользуясь таблицей, находим , , следовательно, .

ПРИМЕР 24. Пусть . Найти .

Решение. Преобразуем заданное изображение:

.

Воспользуемся свойством интегрирования оригинала: по таблице находим , тогда .

Из табл. 2 находим , или . Следовательно, искомый оригинал .

ПРИМЕР 25. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Решение. а) по табл. 2 находим и . По табл. 1 учитываем запаздывание аргумента оригинала, а именно и

. Окончательно получаем оригинал , или

б) аналогично имеем последовательно , .

ПРИМЕР 26. Найти оригинал по его изображению .

Решение. Сначала пытаемся найти оригинал сразу по табл. 2, но в данном примере это не удается. Поэтому сведем к табличным выражениям, преобразуя следующим образом:

.

По табл. 2 находим и или .

Окончательно оригинал запишется так:

.

Таким образом, для отыскания оригинала по известному изображению иногда можно представить изображение в виде суммы табличных изображений, затем найти оригинал каждого слагаемого, а результаты сложить. Обращение преобразования Лапласа в общем виде рассмотрено далее.

Задание. Восстановить оригинал по изображению:

а) ; б) .

Ответы: а) ;

б) .