5. Интегрирование оригинала

Если – оригинал и , , то функция также является оригиналом, причем

, , (10)

т.е. интегрированию оригинала соответствует деление изображения на .

В самом деле, функция удовлетворяет определению оригинала:

1) по свойству определенного интеграла с переменным пределом функция либо непрерывна всюду, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода на произвольном отрезке конечной длины;

2) при , так как при , причем ;

3) для

, здесь использованы свойства оригинала , – показатель роста функций и .

Обозначим изображение функции через . По свойству интеграла с переменным верхним пределом и (см. формулу (7)). Из равенства устанавливаем (10).

ПРИМЕР 9. Применить формулу (10) к степенным функциям , .

Решение. Представим , получим соотношение , аналогично , т.е. . В общем случае .

6. Дифференцирование изображения

Дифференцированию изображения соответствует умножение оригинала на , т.е.

, (11)

.

В самом деле, поскольку – аналитическая функция комплексной переменной в полуплоскости , то ее можно дифференцировать по (под знаком интеграла); получаем

,

т.е. ; аналогично для .

ПРИМЕР 10. Найти изображение для оригинала .

Решение. Из примера 6 имеем . Применяя правило дифференцирования изображения, получаем

, т.е. ;

, т.е. ;

после " "-кратного дифференцирования приходим к соотношению

.

ПРИМЕР 11. Найти изображение оригинала .

Решение. Из примера 7 имеем . Изображение функции найдем дифференцированием по функции

и умножением этой производной на , т.е.

.

7. Интегрирование изображения

Если функция удовлетворяет условиям существования изображения и , то справедливо соотношение

, (12)

т.е. интегрированию изображения соответствует деление на оригинала.

Обоснование этого утверждения подробно изложено в [2].

ПРИМЕР 12. Найти изображение функции .

Решение. Имеем . В силу соотношения (12) получаем

.

Применяя операцию интегрирования оригинала, можем записать

.

Задания

1. Пользуясь простейшими свойствами преобразования Лапласа, получить изображения следующих оригиналов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответы: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

2. Для дифференциального уравнения

при , , записать соответствующее операторное уравнение, решить его. Найти решение дифференциального уравнения.

Ответ: операторное уравнение имеет вид

или , откуда , т.е. , .

3. Найти изображение для и .

Ответ: и .

3. Теоремы о сдвиге аргументов оригинала и изображения

Теорема (о запаздывании оригинала)

Если и , то для справедливо соотношение

. (13)

Иначе говоря, если процесс, описываемый оригиналом , запаздывает на по сравнению с первоначальным (см. рисунок), то изображение, соответствующее этому процессу, получается умножением изображения первоначального оригинала на . В самом деле, для оригинала по определению (1) изображение запишется в виде

, поскольку для каждого . Проведем замену переменной , . Тогда

.

ПРИМЕР 13. Найти изображение прямоугольного импульса амплитуды продолжительностью с запаздыванием (см. рисунок).

Решение. Импульс

можно записать аналитически с помощью единичной функции в виде

Используя свойства преобразования Лапласа и теорему о запаздывании оригинала, получаем

.

Замечания: 1. При использовании теоремы запаздывания оригинала рекомендуется всегда оригинал записывать с множителем . В противном случае возможны ошибки. Например, для оригинала , а для оригинала .

2. Теорема запаздывания оригинала используется для нахождения изображения кусочно-непрерывных функций (иногда их называют "склеенными" функциями).

ПРИМЕР 14. Найти изображение оригинала

Решение. Можно записать . Тогда .

Здесь имеем и

Суммируя эти функции на промежутках , , , получаем значение функции .

ПРИМЕР 15. Найти изображение функции, представленной графиком на рисунке.

Решение. Функция

может быть представлена через единичную функцию , а именно . Для того, чтобы применить теорему о запаздывании оригинала, преобразуем второе слагаемое к виду . Окончательно получаем и по формуле (13) .

ПРИМЕР 16. Найти изображение функции, представленной графиком.

Решение. По рисунку имеем

Через единичную функцию запишем так, чтобы на каждом из промежутков значение совпало с вышеуказанным, а в точках "стыка" графика "вводилась" единичная функция с соответствующим сдвигом аргумента. Получаем

и соответственно

.

Теорема (о смещении изображения)

. (14)

В самом деле, для оригинала изображение находится по формуле (1)

.

Число может быть действительным или комплексным, .

ПРИМЕР 17. Найти изображение оригиналов , , .

Решение. Из примера 7 . По теореме (14) имеем

.

Аналогично

, .

Задание

1. Найти изображения функций:

а) б)

в) .

Ответы: а) ; б) ;

в) .

2. Найти изображения оригиналов:

а) , б) ; в) .

Ответы: а) ; б) ; в) .