Задание

1. Установить, являются ли оригиналами следующие функции: ; ; , ?

Ответы: нет, нет, нет, да.

2. Используя формулу (1), найти изображение функции .

Ответ: .

22.2. Простейшие свойства преобразования лапласа

1. Однородность. Если для оригинала изображение есть , , то для всякого числа оригинал имеет изображение , . Схематично это утверждение можно записать в виде

. (4)

Свойство однородности преобразования Лапласа означает, что при умножении оригинала на ненулевое число его изображение также умножается на это число.

2. Аддитивность. Изображение суммы двух оригиналов равно сумме изображений слагаемых, т.е.

, (5)

.

Свойства однородности и аддитивности преобразования Лапласа определяют его линейность. Изображение линейной комбинации конечного множества оригиналов есть линейная комбинация соответствующих изображений, т.е. если , где – постоянные, – оригиналы, для , то , .

3. Подобие (или свойство изменения масштаба)

. (6)

Проверка утверждений о простейших свойствах изображений проводится непосредственно по определению (1). Например, справедливость свойства подобия получаем из соотношения . Используя замену переменных и учитывая, что при пределы интегрирования не изменяются, имеем

.

ПРИМЕР 7. Используя простейшие свойства ПЛ, найти изображения тригонометрических и гиперболических функций.

Решение. По формуле Эйлера имеем: . Используя пример 6 и формулы (4) – (6), получаем изображение для в виде

, т.е. справедливо соотношение .

По формуле Эйлера и для оригинала имеем изображение ,

т.е. . Аналогично устанавливаются соотношения

и .

Заметим, что каждое из установленных соотношений имеет место в области ; слева в соотношениях – оригиналы.

4. Дифференцирование оригинала

Если , а функции – оригиналы, то справедливы соотношения

то (7)

где , .

В самом деле, из формулы (1) после интегрирования по частям получаем

, т.е. .

Здесь, как и ранее предполагалось, , и поэтому имеем , т.е. .

Применяя полученную формулу к функции , получаем соотношение

или .

Методом математической индукции устанавливается справедливость соотношений (7) при каждом значении .

Формулы (7) становятся более простыми при для . В этом случае имеем

, , , ,

т.е. видим, что дифференцирование оригинала сводится к умножению на изображения .

Изображения функций и их производных используются при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида (8)

с начальными условиями ,(9)

здесь – искомое решение; – заданные числа.

Предположим, что искомое решение этой задачи Коши дифференциального уравнения и его производные , , а также функция являются оригиналами. Тогда, используя свойства изображений, можно перейти от дифференциального уравнения (8) с начальными условиями (9) к операторному уравнению

, где , .

Это уравнение является линейным алгебраическим уравнением относительно . Разрешив его, найдем – изображение искомого решения . Далее по восстанавливаем оригинал – требуемое решение задачи Коши (8) – (9).

ПРИМЕР 8. Найти решение дифференциального уравнения при .

Решение. Переходим к операторному уравнению: полагаем , находим и записываем . Из этого уравнения получаем или . Для восстановления по его изображению можно разложить на простейшие дроби

.

Коэффициенты разложения найдем методом неопределенных коэффициентов, приводя дроби в правой части к общему знаменателю и приравнивая числители. При любых имеем , в том числе

при получаем или ;

при или ; при или .

Окончательно имеем .

Используя свойства изображения и пример 6, получаем

, .

Непосредственной подстановкой в заданное уравнение можно убедиться в правильности полученного решения.