§3 Распространение акустических волн в кристаллах пьезодиэлектриков

3.1 Основные соотношения, описывающие распространение ультразвуковых волн в кристаллах пьезодиэлектриков

В современной физической акустике широко используются пьезокристаллы. Поэтому представляет интерес изучение закономерностей распространения ультразвуковых волн в таких материалах. При теоретическом анализе будем исходить из общих уравнений пьезоэффекта;

; (1.29)

. (1.30)

Из уравнений электростатики: ; . (1.31)

Последнее означает, что в данном случае рассматривается квазистатическое приближение. Более общий случай использования уравнений Максвелла приводит к пренебрежимо малым поправкам [4].

Здесь модули упругости при постоянном электрическом поле;

компоненты напряжённости электрического поля;

компоненты вектора электрической индукции;

пьезоэлектрические постоянные;

диэлектрические проницаемости при постоянной деформации.

Подставляя (1.29) в уравнения движения (1.1), находим:

. (1.32)

Уравнения (1.30) с учётом дают

(1.33)

Из условия следует , где - потенциал. Снова считая волну плоской и гармонической, запишем выражения для смещения и потенциала в виде:

. (1.34)

Здесь - амплитуда потенциала (в общем случае комплексная),смысл остальных величин определён ранее. Подставляя (1.34) в (1.32) и (1.33), получаем:

(1.35)

Отсюда находим связь между потенциалом и смещением в пьезоэлектрике:

. (1.36)

Поскольку в одном тензорном соотношении одинаковые индексы не должны встречаться более чем два раза (во избежание ошибок при суммировании) в знаменателе правой части (1.36) символы заменены на . Для сокращения записи в дальнейшем будем вводить обозначения:

.

Совместное решение уравнений (1.35) приводит к следующей системе:

, (1.37)

где ;

. (1.38)

Заменив на на , получаем другие формы записи уравнений (1.37) и (1.38):

; (1.39)

(1.40)

Величины назовём тензорами Кристоффеля для пьезокристаллов. Уравнения (1.37) и (1.39), в принципе, ничем не отличаются от аналогичных уравнений (1.10) и (1.13). Поэтому все теоретические выводы, сделанные ранее, остаются в силе и для пьезоэлектриков. Так, в любом направлении возможно распространение трёх в общем случае квазипродольных и квазипоперечных волн с тремя взаимно перпендикулярными векторами смещения и др. Разница состоит в том, что собственные значения тензора Кристоффеля , вычисляемые из уравнения

(1.41)

определяются не только модулями упругости , но и пьезоэлектрическими постоянными и диэлектрическими проницаемостями .

В заключение приведём используемые в численных расчётах развёрнутые значения

(1.42)

В соотношениях (1.42) использована матричная форма записи пьезоэлектрических постоянных.

Пример расчета скорости и поляризации акустических волн в кристалле пьезодиэлектрика

3.2 Акустические лучи в кристаллах пьезодиэлектриков

В кристаллах направления распространения волн и соответствующих им ультразвуковых лучей в общем случае не совпадают. Пусть плоский источник (рис.7) с поперечными размерами, много большими длины ультразвуковой волны, совершает синфазные и с постоянной амплитудой колебания.

Возбуждаемая им в кристалле волна, направлена по нормали к поверхности источника , являющейся поверхностью равных фаз. В силу анизотропии упругих свойств кристалла область возмущения перемещается в направлении , причём в отличие от изотропных сред . Из рисунка ясно, что пути, проходимые за одно и то же время t волновым фронтом и ультразвуковым пучком (лучом) , различны. Поэтому фазовая и лучевая скорости не совпадают. Найти вектор можно двумя способами. Один из них основан на энергетических соотношениях. В основе второго способа лежит определение вектора групповой скорости. Остановимся коротко на обоих способах.

Если рассмотреть прямой цилиндр с основаниями, разными единичным площадкам, образующей параллельной и равной , то вся акустическая энергия, заключенная в объёме цилиндра, переносится в единицу времени через его основание (рис.8). Поэтому

. (1.43)

Здесь W – плотность акустической энергии, - вектор плотности потока энергии. Будем рассматривать общий случай распространения упругих волн в пьезоэлектриках. При этом плотность энергии W для адиабатического процесса определяется известным выражением [1]:

. (1.44)

С целью нахождения рассмотрим в пьезокристалле произвольный объём V с поверхностью S. Тогда полная энергия объёма V будет равна:

. (1.45)

Подставляя (1.29) и (1.30) в (1.45), имеем:

. (1.46)

Изменение полной энергии со временем определяется соответствующей производной:

.

Поскольку в правой части последнего выражения

.

,

С учётом (1.29) и (1.30) получаем:

.

Из условия следует . Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, находим:

. (1.47)

(1.47) выражает закон сохранения акустической энергии, согласно которому приращение энергии со временем в замкнутом объёме V потоку вектора , втекающему через поверхность этого объёма S [1]. Отсюда вектор плотности потока энергии в пьезоэлектрике

. (1.48)

Для пассивного материала , и (1.48) приобретает хорошо известный вид. Все расчёты будем производить, считая волны плоскими и гармоническими. Однако учитывая, энергетические характеристики являются нелинейными функциями и . В выражении (1.34) следует перейти от комплексных величин к их вещественным частям [2]:

(1.49)

Подстановка (1.49) в (1.44) с учётом соотношений §5 даёт:

.

С другой стороны, воспользовавшись уравнениями Кристоффеля для пьезоэлектриков (1.39), нетрудно получить:

. (1.50)

Отсюда ясно, что .

Усредняя последнее выражение по времени, имеем: . (1.51)

Аналогичные подстановки в (1.48) дают:

Усредняя по времени, имеем:

.

Отсюда . (1.52)

Громоздкость (1.52) делает задачу вычисления лучевой скорости весьма трудоёмкой. Однако связь между и можно существенно упростить, умножив (1.52) на . После простых преобразований получаем:

.

Из (1.39) нетрудно увидеть, что

.

Поэтому (1.53) Таким образом, (рис.9). Если фазовая и лучевая скорости совпадают по направлению , то . Если не совпадают, то .Для пассивного материала (1.52) имеет более простой вид:

. (1.54)

Способ, основанный на определении групповой скорости

Из общей теории волновых процессов известно, что групповая скорость определяет скорость переноса энергии [5].

По определению . (1.55)

Отсюда . (1.56)

Для установления функциональной связи между и воспользуемся соотношением (1.37), переписав его в виде:

. (1.57)

Дифференцирование (1.57) даёт:

. (1.58)

Рассмотрим сначала второй член в правой части (1.58):

Здесь мы воспользовались уравнениями Кристоффеля:

…