2.3 Примеры расчёта скоростей и поляризаций акустических волн в кристаллах
Пример 1. Пусть
акустические волны распространяются
вдоль направления
(
)
в кристалле тригональной сингонии.
С учётом таблицы модулей упругости
(1.24)
По формулам (1.14) находим:
Отсюда (см. (1.15))
;
;
Подставляя найденные величины в уравнения Кристоффеля, имеем:
(1.25)
(1.26).
Легко видеть, что
система трёх уравнений распадается на
независимые уравнения (1.25) и систему
двух уравнений (1.26). Для
находим
;
(поскольку при
определитель (1.26) нулю не равен). Отсюда
первая волна – чисто поперечная с
вектором смещения, параллельным оси
ОХ. Подставляя
имеем
;
.
С учётом
легко
найти
и
.
Аналогично для третей волны
;
.
Поскольку скорость
квазипродольной волны всегда больше
(известно из опыта) скоростей квазипоперечных
(поперечных) волн, в нашем примере
.
Таким образом, вторая волна является
квазипродольной, третья – квазипоперечной.
Пример 2. Пусть
волны распространяются в направлении
в кристалле кубической сингонии.
С учётом таблицы модулей упругости
(1.27)
находим:
Отсюда
;
;
Подставляя найденные величины в уравнения (1.16), получаем:
(1.28)
Для
имеем
;
;
для
имеем
;
;
для
имеем
;
.
Легко видеть, что
первая волна является чисто продольной;
две другие – чисто поперечными, причём
(вырожденный случай).
2.4 Распространение акустической энергии в кристаллах
Особенностью распространения акустических волн в кристаллах является то, что анизотропия упругих свойств приводит в общем случае к отклонению направления вектора потока энергии от направления волнового вектора. Т.е. существует некоторый угол γ между направлением распространением энергии и волны (см. фото), что приводит к неравенству фазовой и групповой скорости даже при отсутствии дисперсии, так как групповая скорость является скоростью распространения энергии. γ может составлять десятки градусов.
Интересно, что угол γ является ненулевым даже при распространении волны в направлениях симметрии, причем для сдвиговых волн направление отклонения потока зависит от поляризации волны. Это явление называется внутренней конической рефракцией: при повороте плоскости поляризации поперечной волны акустический луч также поворачивается, описывая конус, который является геометрическим местом возможных направлений потока энергии.
Рассмотрим выражение для вектора плотности потока энергии.
I – вектор плотности потока акустической энергии (интенсивность) переносимой акустической волной в единицу времени через единичную площадь.
w – плотность акустической энергии: количество энергии, содержащееся в единице объёма.
-
закон сохранения акустической энергии:
приращение энергии со временем в
замкнутом объёме V равно потоку вектора
I, втекающему через поверхность этого
объёма S.
Далее найдем скорость распространения акустического луча.
2.5 Поверхности фазовых скоростей, волновых векторов и лучевых скоростей
Поверхности фазовых и лучевых скоростей, а также волновых векторов используют для наглядности решения задач кристаллоакустики.
Поверхность фазовых
скоростей (поверхность типа V) – это
геометрическое место концов векторов
фазовых скоростей, проведенных из одной
точки в направлениях, соответствующих
различной ориентации вектора
,
.
Вид поверхности находят из определителя
Кристоффеля:
.
(1.5.1)
Известно, что в общем случае в каждом направлении в кристалле будут распространяться три волны, то поверхность фазовых скоростей будет трехполостной. Форма каждой из полостей, вообще говоря, может быть произвольной (для изотропного тела - сфера). Так как справедливо vql > vqt1, vqt2, то можно говорить, что внутренние поверхности, соответствующие двум квазипоперечным волнам, могут соприкасаться и пересекаться, однако внешняя, соответствующая квазипродольной волне, с ними пересекаться не будет.
Поверхность
волновых векторов (обратных фазовых
скоростей) (поверхность типа М) –
это геометрическое место концов волновых
векторов
,
соответствующих различным направлениям
в кристалле,
.
Вид поверхности находят из определителя
Кристоффеля другого вида:
,
(1.5.2)
где
.
Поверхность
волновых векторов также трехполостная
из-за наличия трех волн в каждом
направлении кристалла. Так как
и
,
то, поскольку данная поверхность
пропорциональна v-1
с масштабным множителем ω, отсюда
второе название – поверхность обратных
фазовых скоростей. Так как
и
сонаправлены, то для заданного
кристаллографического направления
поверхности M и V
перестраиваются по формуле
.
Отсюда следует, что внутренняя полость
поверхности волновых векторов
соответствует квазипродольной волне
и не пересекается в внешними в силу
соотношения скоростей.
Поверхность лучевых скоростей является геометрически более сложной. Поверхность лучевых скоростей (поверхность типа S) – это геометрическое место точек, до которых дошло возмущение в момент времени t = 1, если оно возникло в некоторой точке О в момент времени t = 0. При этом поверхностью лучевых скоростей называют огибающую фронтов плоских волн, излученных из точки О и прошедших во всевозможных направлениях расстояние S = v·1 (t = 1).
Для построения поверхности лучевых скоростей необходимо знать значения лучевых скоростей для данного направления. Однако, формулы для их вычисления сложны, поэтому поверхность S получают из поверхностей V или M. Из выражения (1.5.2) видно, что в неявной форме
.
Считая, что
,
найдем полную производную от F:
,
так как лучевая
скорость
,
получим:
,
в знаменателе имеем постоянный множитель.
Отсюда видно, что
вектора
и
коллинеарны (параллельны и противоположны
по направлению). Предположим, что
.
В этом случае
,
из чего можно
сделать вывод, что
.
Иначе говоря,
.
Геометрически это
можно трактовать следующим образом
(рис. …): если к поверхности волновых
векторов M в точке
провести касательную, а к ней восстановить
перпендикуляр, то можно определить
значение лучевой скорости из выражения
.
…
Рис. …
Так как все эти поверхности являются трехмерными, то ими неудобно пользоваться на практике. Поэтому используют сечение этих поверхностей плоскостями симметрии упругих свойств кристаллов.