2.7 Отражение акустических волн в кристаллах

Анизотропия кристалла усложняет законы отражения и преломления упругих волн на границах раздела сред: углы падения и отражения могут быть разными, кроме того, падающая волна при отражении может расщепляться на несколько волн разных типов, в том числе поверхностных.

В связи с этим, решение задачи об отражении акустических волн в кристаллах диэлектриках сводится к двум этапам: во-первых, к определению направлений отраженных волн и, во-вторых, к определению их амплитуд.

Р

n

ассмотрим простейший случай ‑ отражение акустической волны от свободной границы кристалла диэлектрика.

Граничные условия, определяющие характер решения, для этой задачи заключаются в равенстве нулю компонент механических напряжений на границе и запишутся в следующем виде:

(1)

Граничные условия (1) определяют амплитуды трех отраженных волн. Однако, в зависимости от симметрии кристалла, а также от характера падающей волны, могут иметь место вырожденные случаи уменьшения количества отраженных волн.

Так как мы рассматриваем плоские гармонические волны, то, подставляя описывающее их выражение для смещений в граничные условия, будем иметь:

или

, где .

Тогда для совокупности падающей и отраженных волн граничные условия можно записать в форме:

.

Так как граничные условия (1) должны удовлетворяться для любой точки поверхности границы, в любой момент времени, получим:

или

- временной синхронизм (падающая и отраженные волны должны иметь одинаковую частоту);

- пространственный синхронизм.

Теперь можно сформулировать закон Снеллиуса для анизотропной твердой среды: волновые вектора падающей и отраженных волн лежат в одной плоскости (плоскости падения) и их касательные компоненты равны.

Последнее выражение можно переписать в следующем виде:

или

,

тогда, что то же самое,

, (2)

где α – угол между соответствующей компонентой волнового вектора и нормалью к граничной поверхности.

Стоит отметить, что различные участки фронта волны достигают поверхности раздела не одновременно:

Точка А называется следом акустической волны в данный момент времени и является точкой пересечения волнового фронта с границей раздела.

Из рисунка видно, что след волны распространяется вдоль границы со скоростью:

.

Тогда выражение (2) можно переформулировать следующим образом: скорости следа всех волн, участвующих в отражении, равны.

Для более сложного случая, когда отражение и преломление акустических волн происходит на границе двух твердых тел, граничные условия будут заключаться в равенстве на границе раздела соответствующих компонент механических напряжений и компонент смещений:

,

Интерес представляет особый случай отражения акустических волн от границы анизотропной среды, когда из-за неравенства фазовой и лучевой скоростей волновые вектора и направления распространения энергии волн, участвующих в процессе отражения и преломления, могут оказаться направленными в разные стороны от границы. Таким образом, несмотря на преломление волнового фронта, энергия, переносимая волной, будет отражаться в обратном направлении.

Наиболее простым способом нахождения углов отражения и преломления акустических волн для конкретной задачи является графический способ, основанный на графических построениях на поверхностях волновых векторов (обратных фазовых скоростей). Рассмотрим конкретный пример – отражение и преломление акустических волн на границе раздела плавленого кварца и кристалла кремния. Пусть границей раздела является плоскость XY, построим кривые волновых векторов:

…

Из рисунка … видно, что в изотропной среде, которой является плавленый кварц, возможно распространение чисто продольной и чисто поперечной волн, которым соответствуют кривые в форме полуокружностей. Из анализа кривых волновых векторов кристалла кремния видно, что в рассматриваемом сечении в нем могут существовать квазипродольная, квазипоперечная и чисто поперечная волны.

Пусть акустическая волна падает на границу раздела из кристалла кремния и имеет квазипродольную поляризацию. Тогда можно говорить о том, что чисто поперечная отраженная волна возбуждаться не будет ввиду отсутствия компоненты смещения в этом направлении у падающей волны.

Для нахождения углов отражения и преломления акустических волн на границе необходимо восстановить перпендикуляр к границе раздела через известный волновой вектор падающей волны, а также перпендикуляр, отстоящий на то же расстояние от начала координат, симметрично относительно вертикальной координатной оси. Далее строим волновые вектора отраженных и преломленных волн через точки пересечения восстановленного перпендикуляра с кривыми обратных фазовых скоростей. Таким образом, далее графически определяют величины углов отражения α^отр и преломления α^пр.

Несмотря на простоту графического способа, его точности при решении расчетных задач зачастую бывает недостаточно. Кроме того, данный способ не позволяет находить все виды возникающих волн в особых случаях, когда при особых углах падения одна из преломленных волн скользит вдоль границы и становится неоднородной. Поэтому интерес представляет аналитическое решение задачи.

Будем снова рассматривать простейший случай - задачу об отражении акустических волн от свободной поверхности кристалла диэлектрика. Введем систему координат, определяющую задачу (см. рис. …):

Запишем известное выражение (…):

, (1)

где .

Для рассматриваемой задачи компоненты направляющих косинусов будут иметь следующие значения: .

Разделим уравнение (1) . В результате будем иметь:

, (2)

где – скорость следа волны. Введем следующее обозначение: , при этом A – известная величина, так как параметры падающей волны известны.

Тогда выражение (2) можно записать в форме:

, (3)

где:

(4)

Выражение (3) приводит к уравнению шестой степени относительно неизвестной величины с параметром А:

.(5)

Подставив выражения (4) в выражение (5) и сгруппировав члены с одинаковыми степенями, получим:

, (6)

где - корни данного уравнения. Два корня, отвечающие волнам, которые не могут возникнуть (т.к. реальный кристалл ограничен с одной стороны), должны быть отброшены.

Таким образом, решив уравнение (6) относительно , находим углы отражения и преломления.

Известно, что любую плоскую гармоническую волну (в том числе и неоднородную) можно представить в виде:

.

При этом для однородных волн является вещественной величиной, для неоднородной - комплексной. Мнимая часть описывает изменение смещения по мере удаления от границы раздела. Подставляя в выражение для смещения найденные корни уравнения (6), будем иметь:

. (7)

Для рассматриваемой задачи свободной поверхности кристалла граничные условия запишутся следующим образом:

. (8)

Подставляя выражение (7) в граничные условия (8), получим:

В результате получаем следующую систему уравнений:

_.

Решая ее, находим коэффициенты отражения

,

и далее – амплитуды смещений отраженных волн.