2.6 Влияние элементов симметрии кристалла на типы распространяющихся волн

Типы распространяющихся в кристалле волн определяются в результате решения достаточно громоздких уравнений теории Кристоффеля с учётом таблиц модулей упругости и пространственной ориентации волновой нормали . В ряде случаев характер волн может быть найден из простого рассмотрения свойств симметрии кристалла. Прежде всего, легко убедиться в том, что вдоль оси симметрии любого порядка (кроме первого) распространяются чисто продольные и чисто поперечные волны. В качестве примера рассмотрим ось симметрии порядка 2, совмещённую с координатной осью (рис.2). Пусть вектор смещения направлен произвольно вдоль - направление распространения волн.

Выполним преобразование симметрии применительно к координатной системе (повернём её вокруг на ). В полученной таким образом новой системе X`Y`Z ни один из тензоров, описывающих физические свойства кристалла, не должен измениться [1]. Поскольку совпадает с ` , и . Отсюда ясно, что в новой системе координат численные значения всех решений не будут отличаться от соответствующих значений в старой системе. Так, в результате пространственная ориентация вектора смещения изменится (рис.2), что, естественно, невозможно. Для того чтобы уравнения в старой и новой системе координат приводили к одинаковым результатам необходимо принять вектор смещения либо параллельным (чисто продольная волна), либо перпендикулярным (чисто поперечная волна) оси . Изменение направления вектора смещения поперечной волны в новой системе координат на противоположное (рис.3) несущественно, так как уравнения (1.39) определяют с точностью до знака. Аналогичные соображения справедливы и в случае осей симметрии более высокого порядка. Здесь некоторые особенности имеют место лишь для поперечных волн. Пусть координатная ось , вдоль которой распространяются поперечные волны, является осью симметрии порядка 4. В результате аналитического решения задачи в новой системе координат, повёрнутой относительно на , пространственная ориентация каждой из поперечных волн также изменится (рис.4).

Поскольку направление смещения в реальной волне не зависит от способа её описания, следует принять скорости и равными, в этом случае уравнения Кристоффеля не дают фиксированной ориентации (из уравнений следует только условие ). При этом возникшее логическое противоречие исчезает.

Нетрудно видеть, что вдоль направления перпендикулярной плоскости симметрии кристалла (рис.5) распространяются продольная и поперечные волны. Одна из волн, распространяющихся в плоскости симметрии кристалла, обязательно чисто поперечная, две другие – квазипродольная и квазипоперечная волны (рис.6).

В заключении отметим, что направления, вдоль которых распространяются чисто продольные волны, называются продольными нормалями. Направления, для которых скорости двух квазипоперечных (поперечных) волн равны, называются акустическими осями. Таким образом, оси симметрии порядка 2,3,4,6 являются продольными нормалями, а 3,4,6 – ещё и акустическими осями.