§1 Упругие своЙства твердых сред

Среди твердых сред следует различать анизотропные и изотропные среды.

Анизотропная твердая среда – это среда, свойства которой зависят от направления. К анизотропным твердым средам относятся, например, кристаллы диэлектриков, пьезодиэлектриков, пьезополупроводников.

Кристалл – это твердая анизотропная среда, состоящая из частиц, расположенных в пространстве так, что можно ввести три элементарных (не параллельных) вектора (а₁, а₂, а₃), обладающих следующим свойством: при перемещении тела как целого, описываемого вектором а_n = n₁a₁+n₂a₂+n₃a₃, (где n_1, n₂, n₃ – целые числа), тело совместится с самим собой.

Упругие свойства анизотропной твердой среды описываются модулями упругости , которые вводятся как:

, где

,

что следует из разложения в ряд внутренней энергии:

-закон Гука

Отметим, что тензор модулей упругости обладает симметрией относительно перестановок пар индексов ik, lm, а также относительно перестановки этих пар между собой. Это позволяет перейти от тензорной формы записи к матричной, более компактной:

Симметрия кристаллов – это свойство кристаллов совмещаться с самими собой в результате некоторых преобразований. Такие преобразования называются операциями симметрии. К этим операциям относятся отражение, вращение, параллельный перенос, а также их комбинации. Возможное сочетание симметричных операций, которые могут производиться над кристаллами, разделяют их на 32 класса. Эти 32 класса в соответствии с наличием в них характерных элементов симметрии группируются в 7 систем (сингоний). Наличие элементов симметрии приводит к уменьшению числа независимых компонент тензора модулей упругости, необходимых для описания их упругих свойств:

1). Триклинная система (самая несимметричная) –21 компонента .

2). Моноклинная система – 13 компонент.

3). Ромбическая система – 9 компонент.

4). Тригональная система – 6 (7) компонент.

5). Тетрагональная система – 6 (7) компонент.

6). Гексагональная система – 5 компонент.

7). Кубическая система (высшая степень симметрии) – 3 компоненты:

Изотропная твердая среда – это среда, свойства которой одинаковы во всех направлениях. Формально она описывается наличием бесконечного количества осей симметрии бесконечного порядка. Наличие такой симметрии приводит к тому, что упругие свойства изотропной среды задаются всего двумя независимыми компонентами модуля упругости λ и μ, которые носят название постоянных Лямэ. Тогда модно записать:

,

и закон Гука для изотропной твердой среды будет иметь вид:

.

Здесь - единичный тензор (символ Кронекера).

§ 2 Основы Распространение акустических волн в кристаллах

2.1 Основные уравнения, описывающие распространение упругих волн в кристаллах

При выводе уравнений, описывающих распространение упругих волн в анизотропных средах, воспользуемся хорошо известными уравнениями движения:

(1.1)

и обобщённым законом Гука: (1.2)

Здесь - плотность кристалла;

- компоненты вектора смещения;

- тензор напряжений;

- тензор модулей упругости;

- тензор деформации; - время; - координата вдоль оси . Для малых амплитуд колебаний в волне (1.3)

Подставляя (1.3) и (1.2) в уравнения движения (1.1), получаем:

.

В силу того, что в последнем соотношении суммирование по индексам и ,

.

Отсюда искомое уравнение приобретает вид:

. (1.4)

Полезно подчеркнуть, что используемая тензорная форма записи позволяет представить систему трёх уравнений ( =1, 2, 3) в виде одного уравнения с текущим значением . Видно, что (1.4) не является волновым уравнением и в общем случае к нему не сводится.