§4 Распространение акустических волн в кристаллАх пьезополупроводникОв

Кристаллы пьезополупроводников отличаются от рассмотренных выше кристаллов пьезодиэлектриков наличием проводимости, связанной с движением свободных носителей заряда – электронов. В связи с этим интересным является изучение взаимодействия акустических волн с движущимися носителями заряда (так называемое электрон‑фононное взаимодействие)

Распространение акустических волн в пьезополупроводниках можно описать системой из четырех уравнений:

(1)

1. в материале может распространяться акустическая волна (уравнение движения)

2. материал обладает пьезосвойствами (уравнение пьезоэффекта)

3. в материале создается избыточный заряд

4. по материалу может протекать электрический ток

Принципиальным отличием кристаллов пьезополупроводников от диэлектриков и пьезодиэлектриков является то, что их модуль упругости является комплексной величиной:

,

следовательно, и скорость звука будет содержать действительную и мнимую части:

,

а так как , можем записать .

Подставляя полученные выражения в выражение для плоской гармонической волны, получим:

Таким образом, можно сделать вывод, что в пьезополупроводниках коэффициент затухания имеет ненулевое значение и является комплексной величиной, то есть волна в кристалле распространяется с уменьшением амплитуды.

Фазовая скорость для пьезополупроводников будет описываться выражением:

,

где  ‑ действительная часть модуля упругости пьезополупроводника.

Таким образом, задача нахождения фазовой скорости и коэффициента затухания в пьезополупроводнике сводится к нахождению модуля упругости .

Для решения задачи распространения акустических волн в кристаллах пьезополупроводников переходят к так называемой безразмерной системе координат, тогда в тензорной форме записи индексы при соответствующих физических величинах отсутствуют.

Рассмотрим одномерную задачу (волна распространяется только вдоль оси ), и перепишем систему уравнений (1), перейдя к безиндексной форме записи:

(2)

Дополним данную систему несколькими выражениями:

; ,

где - заряд носителей, - подвижность носителей.

Для кристаллов пьезополупроводников ток будет состоять из двух частей:

,

где - ток дрейфа, - диффузионный ток:

,

где - подвижность электронов/дырок, - коэффициент диффузии электронов/дырок. Здесь

,

где - поле создаваемое носителями заряда; - поле, связанное с распространением звуковой волны; - равновесная концентрация электронов;  ‑ переменная концентрация, связанная с распространением звуковой волны.

Подставляя введенные величины в выражение для модуля упругости пьезополупроводника, получим:

(3)

При этом видно, что можно выделить два особых случая. Если положить значение пьезомодуля равным нулю , то выражение (3) вырождается в выражение для модуля упругости в отсутствии пьезосвойств . Если же допустить, что механические напряжения отсутствуют , то выражение (3) примет вид , что соответствует модулю упругости пьезодиэлекриков.

Как говорилось выше, модуль упругости пьезополупроводников ‑ величина комплексная . Найдем значения ее вещественной и мнимой частей.

Для этого введем следующие обозначения: - частота релаксации; - частота диффузии; - параметр дрейфа; - скорость движения электронов.

Отметим, что: при , а при .

Тогда выражение (3) примет вид:

.

Раскрывая скобки, окончательно получим:

(4)

Откуда находим вид действительной и мнимой частей:

, (5)

(6)

Так как фазовая скорость волны в пьезополупроводниках определяется следующим выражением:

,

подставляя найденное значение , получим:

, (7)

где ,

соответственно, выражение для коэффициента затухания будет иметь вид:

(8)

Важно отметить, что коэффициент затухания может быть величиной как положительной, так и отрицательной.