3.5 Отражение и преломление акустических волн в кристаллах пьезодиэлектриков

…

3.6 Поверхностные акустические волны в кристаллах пьезодиэлектриков

Поверхностные волны – волны, распространяющиеся по поверхности вдоль свободной границы. Причем под свободной поверхностью следует понимать поверхность, находящуюся в вакууме, на которую не действуют какие-либо внешние силы. Поверхность кристалла, соприкасающуюся с воздухом, можно считать свободной (в силу малости акустического сопротивления воздуха). Поверхностные волны переносят энергию вдоль свободной поверхности. Амплитуды смещений в этих волнах экспоненциально убывают по мере удаления от границы. Движение частиц среды происходит по эллиптическим траекториям.

Процедура поиска пав

Приведенные выражения можно использовать не только для решения задач об отражении, но и для расчета параметров поверхностных волн, распространяющихся вдоль свободной границы.

Рассмотрим случай, когда амплитуда падающей волны равна нулю, а отражения и преломления происходят на поверхности, совпадающей с XY.

Зададимся значением скорости поверхностной волны v_сл------v_ПАВ.

Запишем уравнение Кристоффеля в виде:

q ₁₁-A q₁₂ q₁₃

q₁₂ q₂₂-A q₂₃ =0

q₁₃ q₂₃ q₃₃-A

1)Задаёмся значением v_ПАВ и находим А

2)определяем значения корней χ⁽¹⁾; χ⁽²⁾; χ⁽³⁾; χ⁽⁴⁾; χ⁽⁵⁾; χ⁽⁶⁾;

Появление действительных частей у приводит к изменению смещения в виде экспоненциально затухающей синусоиды. Такие волны получили название обобщенных поверхностных волн.

Так как χ⁽ⁱ⁾=Re χ⁽ⁱ⁾+iIm χ⁽ⁱ⁾, то можно записать:

оставляем три корня с отрицательным Im χ⁽ⁱ⁾;

χ⁽¹⁾; χ⁽²⁾; χ⁽³⁾;

3)вычисляем для каждого корня вектор поляризации: p₁ p₂ p₃

4 )составим систему граничных уравнений

5)вычисляем определитель системы det=Re(det)+iIm(det)

6)меняем А пока det =0

В уравнениях, получаемых из граничных условий, положим амплитуду падающей волны = 0. Найденная система однородных уравнений будет иметь ненулевые решения, если её определитель = 0. Изменяя в некоторых пределах = ( - скорость поверхностной волны), необходимо добиться выполнения указанного условия ( = 0). Решение будет иметь вид:

-решение есть линейная комбинация трёх волн, распространяющихся с одинаковой скоростью.

Рассмотрим в качестве иллюстрации пример расчета скорости ПАВ для монокристаллического кварца SiO₂. Положив , можно рассчитать параметры поверхностных волн, распространяющихся вдоль свободной поверхности перпендикулярно оси ОХ:

,

где индекс i приобретает значения 1 и 2, так как смещение лежит в плоскости YZ,  ‑ скорость поверхностной волны.

Для волны, распространяющейся в плоскости XY вдоль оси OY, вычисления дали:

=1 ; =0,00713 – j 0,71127;

= - 0,55316 + j 0,06384; = 0,86780 + j 0,07700;

= 0,83658 +j 0,04221; = 0,51907 –j 0,12874;

= 0,28888 – j 0,27621; =- 0,59896 – j 0,67681;

= 3684,5 м/с.

В рассмотренном примере волна является обобщенной поверхностной. Эта волна проникает вглубь кристалла всего на несколько длин волн. На рис … изображена угловая зависимость обратных скоростей поверхностных волн со смещениями в плоскости YZ (приведены обратные скорости квазипоперечной и квазипродольной волн). Из кривых следует, что . Поэтому взаимодействие объемных и поверхностных волн при отражении от свободной поверхности оказывается невозможным.

Рис. …

Пьезоэффект в кварце приводит к возможности существования чисто поперечной поверхностной волны с вектором смещения, параллельным свободной границе, получившей название волны Гуляева-Блюстейна. Вычисления показали, что волна Гуляева-Блюстейна ( ) существует в ограниченных областях, вырождаясь постепенно в чисто поперечную объемную волну. Волны Гуляева-Блюстейна можно представить в виде:

При 118⁰ вычисления дали:

=1 ; =- 0,0034 + j0,00080;

= 0,4446 - j0,00372; = 0,02359 -j0,98037;

= 4424,5 м/с, ( - )/ - 5 10⁶.

Смещение определяется двумя членами: первый (с большой амплитудой) очень медленно затухает по мере удаления от свободной поверхности, второй (с малой амплитудой) - быстро затухает с удалением от границы. В отличие от волн релеевского типа глубина проникновения волн Гуляева-Блюстейна. может составлять десятки и сотни длин волн.

В случае поверхностных волн вектор плотности потока энергии параллелен свободной поверхности. Направление переноса энергии в общем случае не совпадает с направлением волнового вектора.