Фәзадагы аналитик геометрия.

Фәзадагы туры һәм яссылык.

координаталар системасында яссылыгы түбәндәге рәвешләрдә бирелә ала:

1) - яссылыкның гомуми тигезләмәсе, биредә - яссылыкның нормаль векторы;

2) - ноктасы аша векторына перпендикуляр үтүче яссылык тигезләмәсе;

3) - , һәм нокталары аша үтүче яссылык тигезләмәсе;

4) - кисемтәләр ярдәмендә бирелгән яссылык тигезләмәсе, биредә , һәм - , һәм күчәрләрендә яссылык бүлеп алган, кисемтәләр озынлыклары (тамгасы : « »– кисемтә күчәрнең уңай тамгалы өлешендә бүленсә һәм « »–тискәре тамгалы өлешендә).

ноктасыннан тигизләмәсе белән бирелгән яссылыкка кадәр ераклык түбәндәге формула ярдәмендә табыла:

.

Гомуми тигезләмәләре белән бирелгән һәм яссылыклары арасындагы почмак , ( ) түбәндәге формула ярдәмендә табыла:

.

Әгәр булса, .

Әгәр булса, .

3.70 һәм нокталары аша үтүче һәм бирелгән яссылыгына перпендикуляр булган яссылыгының тигезләмәсен табарга:

а)

б)

3.71 ноктасы аша һәм векторларына параллель үтүче яссылык тигезләмәсен табага:

а)

б)

3.72 һәм нокталарвы аша векторына параллель үтүче яссылык тигезләмәсен табарга:

а)

б) .

3.73 Бирелгән нокталары аша үтүче яссылык тигезләмәсен табарга:

а)

б)

3.74 ноктасы координаталар башлангычыннан яссылыкка төшерелгән перпендикулярның нигезе булып тора. Бу яссылык тигезләмәсен табарга.

3.75 Яссылык тигезләмәсен табарга: а) ноктасы аша яссылыгына параллель үтүче;

б) координаталар башлангычы аша һәм яссылыкларына перпендикуляр үтүче.

3.76 Яссылык тигезләмәсен табарга: а) ноктасы аша яссылыгына параллель үтүче ; б) ноктасы һәм күчәре аша үтүче; в) һәм (5, 1, 7) нокталары аша Оx күчәренә параллель үтүче.

3.77 , һәм күчәрләрендә яссылык бүлеп алган, кисемтәләр озынлыкларын табарга. Яссылыкларны төзергә.

а) б) в) .

3.78 Координаталар күчәрендә тигез кисемтәләр бүлеп алучы һәм ноктасы аша үтүче яссылык тигезләмәсен табарга.

3.79 Яссылыклар арасындагы почмакны табарга:

а) һәм

б) һәм

в) һәм

3.80 Ераклыкны табарга:

а) ноктасының яссылыгыннан;

б) ноктасының яссылыгыннан;

в) ноктасының яссылыгыннан.

3.81 Яссылыклар арсындагы ераклыкны табарга:

һәм

3.82 яссылыгына карата координаталар башлангычы белән симметрик булган нокта табарга.

3.83 Оz күчәрендә һәм яссылыкларыннан тигез ераклыкта урнашкан нокта табарга.

3.84 яссылыгыннан өч берәмлек ераклыкта аңа параллель булган, яссылык үткәрергә.

3.85 һәм координата яссылыклары белән чикләнгән пирамида күләмен табарга плоскостями.

Фәзадагы координаталар системасында турысы түбәндәге рәвешләрдә бирелә ала:

1) - ике яссылык кисешү турысы буларак бирелгән, турының гомуми тигезләмәсе, биредә һәм - һәм яссылыкларының нормаль векторлары;

2) - ноктасы аша векторына параллель үтүче туры тмгезләмәсе (каноник тигезләмә);

3) - бирелгән һәм нокталары аша үтүче туры тигезләмәсе;

4) - ноктасы аша бирелгән векторына параллель үтүче туры тигезләмәсе , (параметрик тигезләмә);

Каноник тигезләмәләре белән бирелгән һәм турылары арасындагы почмак , ( ), түбәндәге формула ярдәмендә табыла:

.

Әгәр булса,

Әгәр булса,

Каноник тигезләмәсе белән бирелгән турысы һәм гомуми тигезләмәсе белән бирелгән яссылыгы арасындагы почмак , ( ) түбәндәге формула ярдәмендә табыла: .

Әгәр булса, _.

Әгәр булса, .

Нокта һәм юнәлтүче вектор белән бирелгән һәм параллель турылар арссындагы ераклык түбәндәге формула ярдәмендә табыла :

.

Нокта һәм юнәлтүче вектор белән бирелгән һәм чалышма турылар арссындагы ераклык түбәндәге формула ярдәмендә табыла:

.

Мисал 1. ноктасы аша турысына параллель үтүче турының каноник тигезләмәсен табарга.

Чишү. Эзләнелүчә турының юнәлтүче векторы буларак, юнәлтүче векторын алырга мөмкин. Бу очракта ноктасы аша юнәлтүче векторына параллель үтүче туры түбәндәге рәвештә була:

.

Җавап: .

Мисал 2. ноктасы аша яссылыгына параллель үтүче яссылык тигезләмәсен табарга.

Чишү. Эзләнелүче яссылыкны түбәндәгечә тамгалыйк . Бу очракта аларның нормаль векторлары параллель. Шуңа күрә, яссылыгының нормаль векторын , эзләнелүче яссылыгының нормаль векторы буларак карарга мөмкин. Димәк, ноктасы аша нормаль векторына перпендикуляр үтүче яссылык тигезләмәсе түбәндәге рәвештә була: или .

Җавап: .

Мисал 3. һәм нокталары аша векторына параллель үтүче, яссылыгының тигезләмәсен табарга

Чишү. векторы векторына коллинеар бумаганлыктан, мисалның бердән-бер чишелеше бар. Ирекле ноктасы алабыз һәм векторын табабыз. Шулай итеп, , яки

.

Җавап:

Мисал 4. ноктасы аша турысына параллель үтүче турының каноник тигезләмәсен табарга.

Чишү. Эзләнелүчә турының юнәлтүче векторы буларак, юнәлтүче векторын алырга мөмкин. Бу очракта ноктасы аша юнәлтүче векторына параллель үтүче туры түбәндәге рәвештә була:

.

Җавап: .

Мисал 5. Чалашма турылар бирелгән: һәм . Бу турылар арасындагы ераклыкны табарга .

Чишү. т урсысы аша турысына параллель үтүче яссылык тигезләмшсен табыйк.

Р яссылыгына нормаль вектор буларак векторын алабыз, биредә - һәм турыларының юнәлтүче векторлары. Димәк,

.

Р яссылыгы тигезләмәсе:

ераклыгы турысындагы теләсә кайсы ноктадан, мәсьәлән, ноктасыннан, Р яссылыгына кадәр ераклыкка тигез. Яссылыкның нормаль тигезләмәсе түбәндәге рәвештә була:

.

Моннан

Җавап:

Мисал 6. Координаталар башлангычы белән яссылыгына карата симметрик нокта табарга.

Чишү. 1. Турының каноник тигезләмәсен кулланып, Р яссылыгына перпендикуляр булган турысының тигезләмәсен языйк:

биредә - турының юнәлтүче векторы. - Р яссылыгының нормаль векторы. Димәк:

2. турысы белән Р яссылыгы кисешү ноктасын табабыз:

3. ноктасында кисемтәсе урталай бүленә. Димәк, әгәр

булса,

Җавап:

3.86 Бирелгән һәм нокталары аша үтүче туры тигезләмәсен табарга:

а) б)

3.87 L турысы гомуми тигезләмәсе белән бирелгән. ноктасы аша үтүче бу турының каноник тигезләмәсен табарга:

а) ; б) .

3.88. а) векторына; б) турысына;

в) күчәренә; г) күчәренә;

д) турысына;е) турысына

параллель һәм ноктасы аша үтүче турының каноник тигезләмәсен табарга.

3.89 турысы һәм ноктасы бирелгән.

Табарга: а) турысы һәм ноктасы аша үтүче яссылык тигезләмәсен; б) ноктасы аша турысына перпендикуляр үтүче яссылык тигезләмәсен; в) ераклыгын.

3.90 Яссылык һәм туры бирелгән . Табарга:

а) һәм туры белән яссылык кисешү ноктасы координатасын; б) турысы аша яссылыгына перпендикуляр үтүче яссылык тигезләмәсен.

3.91 ноктасыннан бирелгән турысына кадәр ераклыкны табарга: а) ; б) .

3.92 нинди кыйммәт алганда яссылыгы турысына параллель була.

3.93 , , нокталары аша үтүче яссылык һәм турысы арасындагы почмакны табарга.

3.94 Параллель турылар арасындагы ераклыкны табарга:

а) и ;

б) и .

3.95 Бирелгән һәм турыларының бер яссылыкныкы булмавын, ягъни аларның чалышма турылар булуларын исбатларга һәм алар арасындагы почмакны табарга:

а) и ;

б) и .

Фәзадагы өслекләр һәм кәкреләр.

координаталар системасында координаталары (һәм бары тик алар) тигезләмәсен канәгатьләндерүче фәзаның ниндидер нокталар җыелмасы дип атала. тигезләмәсе – өслегенең гомуми тигезләмәсе.

Гомуми очракта, фәзадагы кәкресе һәм өслекләренең кисешү сызыгы буларак билгеләнә, ягъни ике тигезләмәдән торучы система бирелә: .

координаталар системасында икенче тәртиптәге алгебраик өслек дип, түбәндәге гомуми тигезләмәгә ия булган өслек атала:

,

биредә саннары – берьюлы нульгә тигез булмаган саннар.

Гомуми тигезләмә вырожденную өслыкне билгеләргә мөмкин (буш күплек, нокта, яссылык, яссылыклар пары). Әгәр өслек невырожденная булса, координаталар системасын үзгәртүләр ярдәмендә, аның гомуми тигезләмәсен, коник координаталар системасындагы, коник тигезләмә рәвешенә китерегә мөмкин.

Ниндидер координаталар системасында , коник тигезләмә белән бирелгән өслек сфера дип атала. Сфера - эллипсоидның аерым очрагы ( ).

саны сфераның радиусы, ноктасы сфераның үзәге дип атала.

– сфераның нормаль тигезләмәсе. Ул үзәге ноктасында һәм радиусы булган сфераны билгели.

координаталар системасында гомуми рәвеше белән бирелгән сфера тигезләмәсен, һәрвакыт, коник координаталар системасындагы , коник тигезләмә рәвешенә китерергә мөмкин (тулы квадрат чыгару методы белән).

Мисал 1. яссылыгы эллипсоид өслеген эллипс буенча кисеп үтүен күрсәтергә, аның ярымъкүчәрләрен һәм түбәләрен табарга.

Чишү. Эллипсоидның яссылыгы белән кисеме түбәндәге система ярдәмендә билгеләнә:

ягъни ул - эллипс.

Табылган эллипсның ярымъкүчәрләре: .

Эллипсның түбәләре булып, түбәндәге нокталар торалар:

; ; ; .

Җавап: ;

; ; ; .

3.96. Түбәндәге тигезләмәләр нинди геометрик образларны билгелиләр:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

3.98 Өслектәге һәр ноктадан һәм нокталарына кадәр ераклык 10га тигез булган, өслек тигезләмәсен табарга.

3.100 Түбәндәге һәр тигезләмәнең дә сфераны тәшкил итүен күрсәтергә, аларның үзәкләрен һәм радиусларын табарга:

а) б)

3.102 Түбәндәге тигезләмәләр нинди кәкреләрне билгелиләр::

а) ; б) ;

в) ; г) .

3.103-3.111 Өслекләрнең тибын билгеләргә һәм аларны төзергә:

3.103 . 3.104 .

3.105 3.106 .

3.107 . 3.108 .

3.109 . 3.110 . 3.111 .

3.112 Туры белән өслекнең кисешү нокталарын табарга:

а) и ;

б) и ;

в) и .

3.113-3.116 Икенче тәртиптәге өслекнең каноник тигезләмәсен табарга, аның тибын һәм каноник координаталар системасын билгелзгә:

3.113. .

3.114. .

3.115 .

3.116 .

Аналитик геометрия буенча мөстәкыйль эш вариантлары.