3. Аналитик геометрия Яссылыктагы аналитик геометрия

Яссылыкта ятучы туры сызык.

турысының нормаль векторы дип, бу турыга перпендикуляр булган һәм нульгә тигез булмаган векторы атала. турысының юнәлтүче векторы дип, бу турыга параллель булган һәм нульгә тигез булмаган векторы атала.

координаталар системасында яссылыкта ятучы турысы түбәндәге рәвешләрдә бирелә ала:

1) - турының гомуми тигезләмәсе , биредә - турының нормаль векторы;

2) - ноктасы аша бирелгән векторына перпендикуляр үтүче туры тигезләмәсе;

3) - ноктасы аша бирелгән векторына параллель үтүче туры тигезләмәсе уравнение (каноник тигезләмә);

4) - һәм нокталары аша үтүче туры тигезләмәсе;

5) - почмакча коэффициентлы туры тигезләмәсе, , биредә - туры үтүче нокта; ( ) –турының күчүре белән төзегән почмагы; - күрендә туры бүлеп алган кисемтә озынлыгы (тамгасы : « »тамгасы кисемтә күчәрнең уңай тамгалы өлешендә, ә « »тамгасы тискәре өлешендә булганда куела).

6) - турының кисемтәләр ярдәмендә бирелгән тигезләмәсе, биредә һәм - һәм күчәрләрендә бүлеп алынган кисетә озынлыклары (тамгасы ).

ноктасыннан яссылыкта гомуми тигезләмәсе ярдәмендә бирелгән турысына кадәр ераклык түбәндәге формула ярдәмендә исәпләнә:

.

һәм турылары арасындагы почмагы түбәндәг формулалар ярдәмендә табыла ( ):

; .

Әгәр яки булса, .

Әгәр яки булса, .

һәм турылары кисешү ноктасы координаталары түбәндәге сызыкча тигезләмәләр системасын чишеп табыла:

яки .

Мисал 1. Түбәләре , , нокталарында булган өпочмакта биеклеге үткәрелгән. Бу биеклекнең тигезләмәсен табарга..

Чишү

ягы тигезләмәсен языйк ,

яки . Моннан биеклеге өчен юнәлтүче векторны билгелибез:

ноктасы аша юнәлтүче векторына параллель үтүче туры тигезләмәсен төзибез:

, яки .

Җавап: .

Мисал 2. һәм турылары кисешү ноктасы аша турысына параллель үтүче туры тигезләмәсен табарга.

Чишү.

Ике тигезләмәдән торучы сызыкча тигезләмәләр системасын чишеп, һәм турылары кисешү ноктасын табабаз:

.

Эзләнелүче туры турысына параллель. Димәк, эзләнелүче турының юнәлтүче векторы булып, векторы алына ала. Шулай итеп, ноктасы аша векторына параллель үтүче туры тигезләмәсе: .

Җавап: .

Мисал 3. Бирелгән һәм турыларына параллель һәм аларның уртасы аша үтүче турысы тигезләмәсен табарга.

Чишү.

Бирелгән һәм турылары өчен векторы нормаль вектор булгач, ул турысы өчен дә нормаль вектор булып тора. Димәк, һәм турылары уртасындагы ноктаны табу җитә.

,

.

Югарыдагы тигезләмәләрдән күренгәнчә, һәм турыларының уртасы кисемтәсенең урта ноктасы булып тора. ноктасының координаталарын табабыз:

.

Димәк, ноктасы аша нормаль векторына перпендикуляр үтүче туры тигезләмәсе түбәндәге рәвештә була: .

Җавап: .

3.1-3.3 Турының тигезләмәсен табарга, аны гомуми рәвешкә китерергә һәм турының графигын төзергә.

3.1 турысы ноктасы һәм нормаль векторы ярдәмендә бирелгән:

а) ; б) ;

в) .

3.2 турысы ноктасы һәм юнәтүче векторы ярдәмендә бирелгән:

а) ; б) ;

в) .

3.3 турысы һәм нокталары ярдәмендә бирелгән:

а) ; б) ;

в) .

3.4 Бирелгән турының почмакча коэффициентын һәм турының координата күчәрләрендә бүлеп алган кисемтәләрне. Турының графигын төзергә

3.5 Ике туры арасындагы почмакны билгеләргә:

.

3.6 ноктасы аша турысына параллель булган турының тигезләмәсен табарга.

3.7 ноктасыннан турысына төшерелгән перпендикуляр тигезләмәсен табарга.

3.8 Координаталар башлангычы аша үткән һәм

а) турысына параллель булган;

б) турысы белән лы почмак төзегән;

в) турысына перпендикуляр булган;

г) турысы белән лы почмак төзегән

туры тигезләмиәсен табарга.

3.9 ноктасы аша үтүче һәм координаталар күчәрләрендә тигез кисемтәләр бүлеп алучы туры тигезләмәсен табарга.

3.10 ноктасы аша үтүче һәм:

а) абсциссалар күчәренә;

б) координата почмагы биссектриссасына ;

в) турысына

параллель булган туры тигезлзмәләрен төзергә.

3.11 Өчпочмакның өч түбәсе бирелгән: . Һәр түбә аша, каршы ятучы якка параллель булган, туры тигезләмәләрен төзергә.

3.12 Өчпочмакның өч түбәсе бирелгән: а) аның өч ягы;

б) түбәсеннән ягына төшерелгән биеклеге;

в) түбәсеннән үткәрелгән медианасы;

г) почмагы биссектриссасы

тигезләмәләрен төзергә.

3.13 Координата күчәрләре һәм турысы белән чикләнгән өчпочмак мәйданын табарга.

3.14 Координата күчәрләре һәм ноктасы аша үтүче туры белән чикләнгән өчпочмак мәйданы булырлык итеп үткәрелгән, туры тигезләмәсен табарга.

3.15 а) ноктасының турысыннан;

б) ноктасының турысыннан;

в) ноктасының ой турысыннан

ераклыгын табарга.

3.16 Турыпочмаклы координаталар системасының ординаталар күәрендә координаталар башлангычннан һәм турысыннан тигез ераклыкта урнашкан ноктаны табарга.

3.19 турысына карата ноктасына симметрияле булган нокта табарга.

3.20 һәм турылары төзелгән почмакның биссектриссалары тигезләмәләрен төзергә.

3.21 Өчпочмак якларының тигезләмәләре бирелгән: Аның түбәләре координаталарын табарга.

3.22 Өчпочмакның ике түбәсе һәм аның биеклекләре кисешү ноктасы бирелгән. Өченче түбәсенең координаталарын табарга.

3.23 Өчпочмак якларының тигезләмәләре бирелгән : һәм . Өчпочмак биеклекләре тигезләмәләрен табарга.

3.24 Өчпчмакның бер түбәсе һәм ике биеклеге тигезләмәләре , бирелгән. Өчпочмак якларының тигезләмәләрен табарга.

3.25 Өчпчмакның бер түбәсе һәм ике медианасы тигезләмәләре , бирелгән. Өчпочмак якларының тигезләмәләрен табарга.

3.26 Өчпчмакның бер түбәсе һәм ике почмагының биссектрисалары тигезләмәләре , бирелгән. Өчпочмак якларының тигезләмәләрен табарга.

Яссылыкта ятучы кәкреләр.

координаталар сиситемасында дип, тигезләмәсен канәгатьләндерүче яссылыкның ниндидер нокталар җыелмасы атала. тигезләмәсе кәкресенең гомуми тигезләмәсе дип атала.

координаталар сиситемасында икенче тәртиптәге алгебраик кәкре дип, гомуми тигезләмәсе түбәндәге рәвештә булган кәкресе атала :

,

биредә саннары- берьюлы нульгә тигез булмаган саннар. Икенче тәртиптәге кәкреләрнең түбәндәге классификациясе бар: 1) әгәр булса, гомуми тигезләмә эллиптик типтагы кәкрене билгели (әйләнә ( ), эллипс ( ), нокта); 2) әгәр булса, гиперболик типтагы кәкрене (гипербола, кисешүче турылар); 3) әгәр булса, параболик типтагы кәкрене (парабола, буш күплек, туры, параллель турылар) . Әйләнә, эллипс, гипербола һәм парабола невырожденными икенче тәртиптәге кәкреләр булып торалар.

координаталар системасында , каноник тигезләмә белән бирелүче кәкре әйләнә дип атала. Билгеләмәдәге координаталар системасы каноник координаталар системасы дип атала.

саны әйләнәнең радиусы дип, ә ноктасы әйләнәнең үзәге дип атала точка.

– әйләнәнең нормаль тигезләмәсе. Ул үзәге ноктасында һәм радиусы булган әөләнәне билгели.

координаталар системасында гомуми тигезләмәсе белән бирелгән әйләнәне һәрвакыт каноник тигезләмәсе рәвешенә китереп була( каноник координаталар системасында).

3.28 ноктасына кадәр ераклык ноктасына кадәр ераклыктан ике тапкыр кечерәк булган кәкре тигезләмәсен табарга.

3.30 Түбәндәге тигезләмәләр әйләнәне билгеләүләрен күрсәтергә һәм аның үзәге белән радиусын табарга:

а) г) ;

б) д) ;

в) ; е) .

3.31 Әгәр туры һәм әйләнә түбәндәге тигезләмәләр белән бирелгән балсалар, туры белән әйләнәнең торышын билгеләргә: кисеп үтә, орына яки аннан читтә үтә:

а)

б)

в)

3.33 һәм нокталары бирелгән. Диаметры кисемтәсенә тигез булагн, әйләнә тигезләмәсен табарга.

3.34 Әйләнә күчәренә орына һәм ноктасы аша үтә. Аның тигезләмәсен табарга һәм координата почмакларының биссектрисалары белән кисешү нокталарын билгеләргә.

координаталар системасында , каноник тигезләмәсе белән күрсәтелгән кәкре эллипс дип атала.

һәм саннары тиңдәшле рәвештә эллипсның зур һәм кече ярымъкүчәрләре, , , , нокталары - аның түбәләре, һәм күчәрләре - симметрия күчәрләре, ноктасы - симметрия үзәге дип аталалар. һәм нокталары эллипсның фокуслары дип атала, биредә . һәм векторлары - фокаль радиус-векторлар, һәм саннары - ноктасының фокаль радиуслары. ( ) саны эллипсның эксцентриситетыдип атала. ( булганда эллипс әйләнәгә әверелә). һәм турылары эллипсның директрисалары дип аталалар.

координаталар системасында гомуми тигезләмәсе белән бирелгән эллипсны һәрвакыт , каноник тигезләмәсе рәвешенә китереп була ( каноник координаталар системасында).

Мисал 1. һәм нокталары аша үтүче эллипсның каноник тигезләмәсен табарга.

Чишү. Эллипсның каноник тигезләмәсен алабыз һәм һәм нокталарының координаталарын куябыз. Түбәндәге тигезләмәләр системасы табабыз:

.

Системаны чишеп, эллипсның һәм параметрларын билгелибез.. , дип тамгалап, системаны түбәндәге рәвешкә китерәбез:

.

Димәк, эллипс тигезләмәсе: .

Җавап: .

3.35 Эллипсның каноник тигезләмәсен табарга:

а) фокуслар арасы 8, ә кече ярымъкүчәр ;

б) зур ярымъкүчәр , ә эксцентриситет .

3.36 Түбәндәге тигезләмәләр эллипсны билгеләүләрен күрсәтергә, аның үзәген, ярымъкүчәрләрен, эксцентриситетын һәм директрисалар тигезләмәсен табарга:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.37 Турының эллипска карата урнашуын билгеләргә: кисеп яки аннан читтә үтә:

а) ; б) .

3.38 Бер фокусыннан зур ярымъкүчәр очларына кадәр ераклык 5 һәм 1гә тигез булган эллипсның, каноник тигезләмәсен табарга.

3.39 Координата күчәрләренә симметрик булган эллипс һәм нокталары аша үтә. Аның тигезләмәсен һәм ноктасыннан фокусларга кадәр булган ераклыкны табарга.

3.40 Координата күчәрләренә симметрик булган эллипсның фокуслары күчәрендә яталар. Эллипс ноктасы аша үтә һәм аның эксцентриситеты . . Аның тигезләмәсен һәм ноктасыннан фокусларга кадәр булган ераклыкны табарга.

координаталар системасында , каноник тигезләмәсе белән күрсәтелгән кәкре гипербола дип атала.

һәм саннары тиңдәшле рәвештә гиперболаның реаль һәм уйланма ярымъкүчәрләре, , нокталары - аның түбәләре , һәм күчәрләре - симметрия күчәрләре, ноктасы - симметрия үзәге дип аталалар һәм нокталары гиперболаның фокуслары ( ), һәм векторлары - фокаль радиус-векторлар, ә һәм саннары - ноктасының фокаль радиуслары дип аталалар. ( ) саны гиперболаның эксцентриситеты дип атала. һәм турылары - гиперболаның директрисалары.

һәм турылары гиперболаның асимптоталары дип аталалар.

координаталар системасында гомуми тигезләмәсе белән бирелгән гиперболаны һәрвакыт , каноник тигезләмәсе рәвешенә китереп була ( каноник координаталар системасында).

Мисал 1. Асимптоталары ноктасы аша үтүче гипербола тигезләмәсен табарга. Аның түбәләре арасыдагы ераклыкны билгеләргә.

Чишү. ноктасы гиперболада ятканлыктан, аның координаталары каноник тигезләмәне канәгатьләндерергә тиеш:

, ягъни .

Асимптоталар тигезләмәсеннән табабыз : .

Табылган тигезләмәләр системасын чишәбез::

,

Димәк, гипербола тигезләмәсе .

Түбәндәге шарттан гиперболаның түбәләре арасындагы ераклыкны табабаз: .

Җавап: ; .

Мисал 2. Гипербола бирелгән: . ноктасы аша үтүче һәм фокуслары гипербола фокуслары белән тәңгәл килүче эллипс тигезләмәсен табарга. .

Чишү. Гиперболаның параметрларын , , дип тамгалыйбыз һәм аларны табабыз: .

Эллипсның фокуслары гипербола фокуслары белән тәңгәл килә, димәк, .

Эллипсның каноник тигезләмәсен крыйбыз: һәм аңа ноктасының координаталарын куябыз :

.

Җавап: .

3.41 тигезләмәсен канәгатьләндерүче гипердола төзергә. Табарга:

а) ярымъкүчәрләрне; б) фокусларның координаталарын; в) эксцентриситетны; г) асимптоталар тигезләмәләрен; д) директрисалар тигезләмәләрен.

3.42 Әгәр: а) фокуслар арасы , ә түбәләр арасы ;

б) реаль ярымъкүчәр , ә эксцентриситет

булса, гиперболаның каноник тигезләмәсен табарга.

3.43 Түбәндәге тигезләмәләр гиперболаны билгеләүләрен күрсәтергә, аның үзәген, ярымъкүчәрләрен, эксцентриситетын, асимптоталар һәм директрисалар тигезләмәләрен табарга:

а)

б) ;

в) ; г) .

3.44 гиперболасында ординатасы 1гә тигез булган ноктасы алынган. Фокуслардан бу ноктага кадәр ераклыкны табарга.

3.45 Координаталар күчәренә карата симметрик булган гипербола ноктасы аша үтә һәм аның уйланма ярымъкүчәре . Гиперболаның тигезләмәсен һәм фокуслардан М ноктасына кадәр ераклыкны табарга.

координаталар системасында , каноник тигезләмәсе белән күрсәтелгән кәкре парабола дип атала.

саны параболаның параметры, күчәре - симметрия күчәре, ноктасы – параболаның түбәсе дип атаа. ноктасы параболаның фокусы, векторы - фокаль радиус-вектор, ә - ноктасының фокаль радиусы булып тоарлар. турысы параболаның директрисасы дип атаа.

координаталар системасында гомуми тигезләмәсе белән бирелгән параболаны һәрвакыт , каноник тигезләмәсе рәвешенә китереп була ( каноник координаталар системасында).

Мисал 1. Фокусы ноктасында һәм түбәсе координаталар башлангычында булган парабола тигезләмәсен табарга.

Чишү.

Әгәр булса, параболаның фокусы күчәрендә, координаталар башлангычыннан сулдарак, ята. Парабола тигезләмәсе түбәндәге рәвештә була:

.

Шулай итеп, .

Җавап: .

3.46 Түбәндәге тигезләмәләре белән бирелгән параболаларны төзергә һәм аларның параметрларын табарга:

а) б) в) г)

3.47 Парабола тигезләмәсен төзергә: а) күчәренә карата симметрик һәм , нокталары аша үтүче; б) күчәренә карата симметрик һәм , нокталары аша үтүче.

3.48 Түбәндәге тигезләмәләрнең параболаны билгеләүләрен күрсәтергә һәм А түбәсенең координаталарын, р параметрының кыйммәтен табарга:

а) б)

в) ; г) .

3.49 параболасында фокаль радиусы 4.5кә тигез булган нокта табарга.

3.50 праболасының фокусы аша күчәренә карата 120° булган туры үткәрелгән. Туры тигезләмәсен һәм барлыкка килгән хорда озынлыгын табарга.

3.51 параболасында турысына иң якын булган ноктасын табарга һәм бу ноктадан турыга кадәр ераклыкны билгеләргә.

3.54-3.57 Икенче тәртиптәге кәкренең каноник тигезләмәсен табарга, аның тибын һәм каноник координаталр системасын билгеләргә.

3.54 .

3.55 .

3.56 .

3.57 .

Параметрик тигезләмәләре һәм поляр координаталары белән бирелгән яссылыкта ятучы кәкреләр.

Әгәр яссылыкта полюс дип аталучы ноктасы һәм поляр күчәр дип аталучы полюстан чыгучы нуры бирелгән булсалар, яссылыкта поляр координаталар системасы бирелгән була. Поляр координаталар системасында ноктасының торышы ике сан билән билгеләнә: поляр радиусы һәм поляр почмагы (поляр күчәр һәм векторы арасындагы почмак). Поляр почмакны радианнарда үлчиләр (поляр күчәрдән сәгать теле йөрешенә каршы якка). язылышы түбәндәгене аңлата: ноктасы һәм поляр координаталарына ия. шартын канәгатьләдерүче поляр почмак кыйммәте төп дип атала (кайбер очракларда ).

Декарт турыпочмаклы координаталар системасының башлангычы поляр координаталар системасының полюсы белән, ә уңай ярымъкүчәре поляр күчәр белән тәңгәл килсәләр, ноктасының декарт һәм поляр координаталары түбәндәге формулалар ярдәмендә табыла алалар:

.

Әгәр параметрының теләсә нинди кыйммәте өчен һәм, киресенчә, теләсә нинди ноктасы өчен параметрының , шартлары үтәлерлек кыйммәте табалса, , , тигезләмәләре кәкресенең параметрик тигезләмәләре дип аталалар. Параметрик тигезләмәләрдән парамарын чыгарсак, тигезләмә түбәндәге рәвешкә килә: .

3.58-3.60 Поляр координаталар системасында бирелгән кәкреләрнең графиклары эскизларын төзергә:

3.58 а) ; б) ; в) ; г) .

3.59 а) ; б) ; в) ; г) .

3.60 а) ; б) ; в) ; г) .

3.61-3.63 Кәкреләрнең декарт координаталарында бирелгән тигезләмәләрен поляр координаталар рәвешенә китерергә һәм кәкреләрнең графиклары эскизларын төзергә:

3.61 а) ; б) ; в) .

3.62 а) ; б) ; в) ; г) .

3.63 а) ; б) .

3.64-3.65 Кәкреләрнең поляр координаталарда бирелгән тигезләмәләрен декарт координаталары рәвешенә китерергә һәм кәкреләрнең графиклары эскизларын төзергә:

3.64. а) ; б) ; в) ; г) .

3.65 а) ; б) ; в) ; г) .

3.66-3.67 t параметрын чыгарып, бирелгән кәкреләрнең F(x,y)=0 рәвешендәге тигезләмәләрен табарга һәм аларның графикларын төзергә:

3.66 а) ;

б)

3.67 а) ;

б)

3.68-3.69 Кәкреләрне төзергә:

3.68 (циклоида аркасы).

3.69 (астроида).