10.3 Задача третьего типа

 

Определение оптимальной (по минимуму дисперсии) передаточной функции системы управления.

 

Назначение любой системы управления изменять входную величину  по определенному закону и устранять влияние возмущений на эту величину. В общем случае автоматическая система должна воспроизводить на своем выходе не само воздействие , а некоторый требуемый сигнал  (идеальный сигнал), связанный с сигналом  заданным соотношением:

, где

 – заданный оператор идеального преобразования входного сигнала. Если система выполняет операцию идеально и ее выходная величина  соответствует требуемому значению, то можно написать:

для слежения: ;   (если обратная связь )

                или  (если )

для дифференцирования:

для упреждения:   и т.д.

Сигнал  на выходе реальной системы  почти всегда отличается от идеального выходного сигнала на величину ошибки

В связи с этим возникает задача синтеза такой структуры, которая обеспечивала бы наилучшее в том или ином смысле, приближение к идеальному преобразованию . Критерием точности приближения реальной структуры к идеальной может служить условие минимума дисперсии сигнала ошибки. Это и есть задача Винера.

Рассмотрим упрощенное решение задачи Винера применительно к расчетной схеме:

 –  помеха на входе

 – задающий сигнал

 – соответствующие спектральные плотности.

 

 

 

Полагаем, что входные воздействия  и  не коррелированны между собой. Поэтому спектральную плотность сигнала  можно определить как простую сумму:

 

Дисперсия сигнала ошибки:

       (*)

 

Задача Винера заключается в определении такой частотной передаточной функции (иначе ККП)  замкнутой системы, которая обеспечивает минимум дисперсии  После преобразований (*) принимает вид:

 

Это уравнение Винера Хопфа.

В первое слагаемое не входит  и на него нельзя повлиять выбором . Очевидно, условием минимума :   является равенство:

Следовательно,

                             (**)

Т.о.  зависит от вида оператора идеального преобразования  и соотношения спектральных плоскостей задающего воздействия и помехи.

При отсутствии помехи :

 

т.е. оптимальная частотная функция равна заданному оператору идеального преобразования.

Если помеха представляет “белый шум” и ее интенсивность  много больше уровня полезного сигнала , то

и для следящих систем :   

 

т.е. повторяет форму кривой спектральной плотности задания.

Однако частотные функции, определяемые (**), оказываются, как правило физически нереализуемыми. Это следует из того, что если найти весовую функцию , соответствующую , то при  эта импульсная переходная функция будет отлична от 0, т.е.  при .

Это означает, что следствие (реакция на возмущение) предшествует причине (возмущению вида , приложенному в момент времени ).

Причина здесь в том, что частотная функция , соответствующая спектру  может иметь нули и полюса не только в левой полуплоскости  (верхней полуплоскости ), но и в правой полуплоскости  (нижней полуплоскости ).

 

Для получения реализуемой оптимальной частотной характеристики  можно использовать операции факторизации и расщепления; для этого представим сумму спектральных плотностей в виде произведения двух сомножителей, один из которых  имеет нули и полюса в верхней полуплоскости , а другой  - в нижней.

Тогда физически реализуемая частотная характеристика будет иметь вид:

                       (***)

 

(***) – это уравнение Винера-Колмогорова, полученное в результате расщепления (отбрасывания в (**) нижних нулей и полюсов), имеет нули и полюса только в верхней полуплоскости .

 

Пример:

Пусть спектральная плотность задающего сигнала

 

а спектральная плотность помехи (белый шум):

 

Задача состоит в построении следящей системы, т.е.

 

Для нахождения  воспользуемся (*).

Произведем операцию факторизации:

 

Затем произведем операцию расщепления:

        

 

Таким образом, отбрасывая , имеющий нижний (в плоскости ) полюс , получаем:

 

подставляя это значение  и  в (*), получаем:

  ,

что соответствует апериодическому звену со статическим коэффициентом усиления  и постоянной времени .

 

Подведем итоги:

 

Теоретический минимум дисперсии:

(Для нашего примера: ;   ;   ):

 

В физически реализуемой системе из-за различий функций  и  дисперсия возрастает на величину:

 

Итак, реально достижимое значение минимума дисперсии при  составит

 

Ключевые термины и понятия.

 

Выбор некоторого параметра управляющего устройств, обеспечивающий минимальную дисперсию сигнала ошибки при известных характеристиках воздействий, заданной структуры системы, заданных параметрах объекта.

Выбор оптимальной структуры всей системы или только управляющего устройства при критерии в виде минимума дисперсии сигнала ошибки при  известных характеристиках внешний воздействий (задача Винера).

Дисперсия стационарного случайного сигнала. Среднее значение квадрата отклонения сигнала от среднего значения (математического ожидания).

Статистическая динамика. Методы расчета систем, подверженных случайным воздействиям.

Тестовые вопросы и задачи на проверку минимальных знаний по курсу ТАУ:  

1. Какие виды управления Вы знаете и чем они отличаются друг от друга? 2. Устойчива ли САУ 3-го порядка с приведенным годографом Михайлова 3. Оцените устойчивость линейной непрерывной системы 3-го порядка с данным расположением корней характеристического уровня. 4. Найдите переходную функцию h (t) звена с передаточной функцией

5. Сформулируйте необходимое условие устойчивости для линейных непрерывных систем. 6. Запишите передаточную функцию для идеального интегрирующего звена. 7. Устойчива ли система, если ее характеристическое уравнение имеет вид Р⁴+ 5Р³ + ЗР+ 10 = 0 8. Что такое преобразование Лапласа и в чем его основное достоинство? 9. Найдите установившееся значение выходной величины:

10. С какой целью в САР, построенную на основе принципа управления по отклонению, добавляют канал компенсации возмущающего воздействия? 11. Постройте асимптотическую ЛАЧХ звена с передаточной функцией

12. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста для случая, когда разомкнутая система устойчива?

13. Найти передаточную функцию системы по возмущающему воздействию

14. На рисунке точками отмечены корни характеристического уравнения первой системы, а крестиками-корни второй системы. В какой системе переходные процессы затухают быстрее?

15. Нарисуйте годограф АФХ идеального пропорционального звена. 16. Полюса непрерывной разомкнутой системы

Дайте заключение об устойчивости соответствующей замкнутой структуры. 17. Найти передаточную функцию звена, описываемого диф. уравнением 18. Укажите основные достоинства и недостатки управления по отклонению. 19. Устойчива ли замкнутая система, если в разомкнутом состоянии она устойчива и имеет приведенные ЛАЧХ

20. Запишите формулу для определения передаточной функции соединения звеньев с обратной связью (встречно-параллельное соединение). 21. Какой передаточной функцией описывается четырехполюсник?

22. На рисунке показаны полюса первой системы (•) и второй (х). В какой системе колебательность переходного процесса больше.

23. Оценить устойчивость САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии по годографу Найквиста.

24. Какой передаточной функцией описывается четырехполюсник?

25. Перечислите прямые показатели качества САУ. 26. Найти установившееся значение ошибки по возмущению f (t) = 2·1(t)

27. Устойчива ли линейная непрерывная система, имеющая данное расположение корней характеристического уравнения.

28. Как называется сигнал на выходе линейной системы, если на ее вход подается единичная функция l(t)/ 29. Найти установившееся значение ошибки e , если U(t) = 6·1(t)

30. Что такое d(1) дельта-функция и как называется сигнал на выходе линейной системы, если на вход ее подается d(t). 31. Записать выражение передаточной функции линейной системы по виду ЛАЧХ. 32. Как называется звено с передаточной функцией

33. Постройте графики переходной функции для К=10² и К=10³ (на одной плоскости)

34. Необходимые и достаточные условия устойчивости для линейной непрерывной системы 1 -го и 2-го порядка. 35. Укажите основные соединения элементарных звеньев САУ. 36. Какие три основные задачи решаются в статистической динамике линейных систем автоматического управления?

Правильные ответы на тестовые вопросы и задачи  

1. Жесткое регулирование по возмущению, управление по отклонению (компенсационное), комбинирование управление. Отличаются друг от друга видом используемой для управления информации.

2. Устойчива.

3. Система нейтральна.

4. .

5. Все коэффициенты характеристического уравнения системы положительны.

6. .

7. неустойчива, т.к. а₂=0

8. Основное достоинство:  позволяет свести решение линейного дифференциального уравнения к решению соответствующего алгебраического уравнения.

9. .

10. Для уменьшения ошибок регулирования.

11. 

12. Если годограф АФХ разомкнутой структуры не охватывает точку с координатами (-1,0), то замкнутая структура устойчива.

13. .

14. В первой.

15. 

16. Мало данных, т.к. полюса замкнутой структуры могут отличаться от полюсов разомкнутой.

17. .

18. Благодаря наличию цепи обратной связи при регулировании используется информация о координатах системы, т.е. о действительном состоянии системы.

19. Неустойчива.

20. .

21. .

22. Во второй.

23. Устойчива.

24. .

25. Длительность переходного процесса, перерегулирование, количество колебаний.

26. .

27. Неустойчива.

28. Переходная функция.

29. 1

30. , весовая или импульсная переходная функция.

31. .

32. Звено чистого запаздывания.

33. .

34. Положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

35. Последовательное, параллельное, встречно-параллельное.

36. См. Введение к главе 10.

Литература  

1. Винер Н. «Кибернетика или управление и связь в животном и машине» /Перевод с англ. М.: «Советское радио», 1958

2. Эшби У. «Введение в кибернетику»   М.: ИИЛ, 1959

3. Лукас В.А. «Теория автоматического управления»,   учебник для ВУЗов,    М.: Высшая школа, 1990

4. Куропаткин П.В.  «Теория автоматического управления», учебное пособие для ВУЗов,  М.:  Высшая школа, 1973

5. «Теория автоматического управления», учебник для ВУЗов в 2 ч. / под редакцией А.А.Воронова.  М.: Высшая школа, 1986

6. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления: учебное пособие для ВУЗов /Под редакцией В.А.Бесекерского  М.: Наука, 1978

7. Цыпкин Я.З. «Основы теории автоматических систем».   М.: Наука, 1977

8. Удерман Э.Г. «Метод корневого годографа в теории автоматических систем».   М.: Наука, 1972

9. «Расчет автоматических систем»  Учебное пособие для ВУЗов /Под ред. А.В.Фатеева   М.: Высшая школа, 1973

10. Медведев В.С., Потемкин В.Г. «Mathlab 5 для студентов».  М.: Диалог-МИФИ, 1999

11. Солодовников В.В. «Статистическая динамика линейных систем автоматического управления».  М.: Физматгиз, 1960

12. Лысов В.Е. «Теория автоматического управления. Основы линейной теории автоматического управления.» Учеб. пособие для ВУЗов. Самара. СамГТУ, 2001

13. Дорф Р.Б., Бишоп Р. «Современные системы управления» / перевод с англ. М.: Лаб.базовых знаний, 2002.

14. Дёч Г. «Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования». /перевод с нем. М.: Наука, 1971.