4.3.4 Применение критерия найквиста для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
(1)
Предполагается, что имеет только левые полюса.
Наличие интегратора
свидетельствует
об астатизме системы,
-
степень астатизма.
Эти системы имеют некоторые особенности по сравнению с системами, которые мы до сих пор рассматривали.
В рассмотренных ранее случаях годограф разомкнутой системы вместе с действительной осью образовывал замкнутый контур, теперь же замкнутый контур не образуется.
Для примера рассмотрим следующую передаточную функцию разомкнутой системы:
С помощью несложных преобразований эту передаточную функцию можно привести к виду:
Ее годограф будет иметь вид:
Как же определить, охватывает ли годограф точку (-1;0)? Для этого применяют следующий прием: строят дополнение годографа в бесконечности.
Другими словами, строят дугу бесконечно большого радиуса, соединяющую действительную положительную полуось с годографом в отрицательном направлении (по часовой стрелке). При этом образуется замкнутый контур и далее критерий Найквиста применяется как для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии.
Тогда для рассматриваемого примера получаем:
Следовательно, замкнутая система устойчива.
4.3.5 Применение критерия найквиста в системах, содержащих звенья с чистым запаздыванием.
Передаточная функция звена с чистым запаздыванием имеет вид:
(1)
Пусть имеется следующая устойчивая система:
Пусть годограф этой системы имеет вид:
рис.2
Теперь добавим в эту систему звено запаздывания:
Произведем в звене запаздывания замену . Тогда получаем:
Здесь
.
Как известно, умножение передаточной
функции на эту экспоненту соответствует
повороту на угол
вектора
.
Но тогда при определенном угле поворота
может создаться ситуация охвата точки
(-1;0) и система станет неустойчивой.
Рассмотрим эту ситуацию.
На рис.4
-
запас устойчивости по фазе. Пусть
-
частота, при которой вектор имеет длину
1 (частота среза). Тогда при наличии
множителя
лишь
при изменении
может
возникнуть критическая ситуация, когда
указанный на рисунке вектор повернется
своим концом в точку (-1;0) и замкнутая
система станет неустойчивой. Отсюда
получаем условие устойчивости:
.
4.3.6 Определение устойчивости с помощью критерия найквиста по лачх и лфчх эквивалентной разомкнутой структуры.
Возможно также определение устойчивости замкнутой структуры по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой структуры.
Пусть имеется некоторая разомкнутая система. Она устойчива и имеет годограф следующего вида:
рис.1
Известно, что если разомкнутая система устойчива и ее годограф имеет такой вид (т.е. не охватывает точку (-1;0)), то замкнутая система устойчива.
Из рисунка видим, что при частоте, когда
модуля вектора было достаточно для
неустойчивости системы, не хватало угла
,
когда же угла хватало, стало недоставать
модуля вектора на
.
- запас устойчивости по фазе.
- запас устойчивости по амплитуде.
Изобразим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой структуры и, исходя из рис.1, отметим и :
Участок, на котором выполняется условие положительности ЛАЧХ, называется участком баланса амплитуд. Частота, на которой угол сдвига фаз достигает 1800 – баланс фаз.
Сопоставляя годограф и ЛАЧХ, нужно отметить, что когда выполняется условие баланса амплитуд, то модуль вектора больше 1. Теперь можно сформулировать условие устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы:
Если имеется разомкнутая устойчивая система, то эквивалентная замкнутая структура будет устойчивой, если среди частот баланса амплитуд нет частоты баланса фаз.
рис.2
Говоря о ЛАЧХ, следует также отметить,
что при проектировании устойчивой
системы автоматического управления
(САУ) с достаточными запасами устойчивости,
как правило, добиваются, чтобы ЛАЧХ
пересекала ось частот под углом
-20
.
Ключевые термины и понятия.
Критерий устойчивости Гурвица. Если все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны, то система устойчива.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют один знак, то система устойчива.
Критерий устойчивости
Михайлова А.В. В устойчивой системе
годограф Михайлова – это плавная кривая,
которая при изменении частоты от нуля
до бесконечности последовательно
пересекает (n-1) квадрант,
уходя в бесконечность в n-ом
квадранте. Вместо построения годографа
часто используют признак перемежаемости
корней
и
,
где
-
частотный характеристический полином
системы.
Критерий устойчивости Найквиста Г. Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по годографу разомкнутой.
Теоремы Ляпунова А.М. О влиянии малых параметров на устойчивость системы.
Необходимые условия устойчивости. Все коэффициенты характеристического уравнения системы должны быть положительны.
Принцип аргумента.
Лежит в основе всех частотных критериев
устойчивости. Утверждает, что изменение
аргумента комплексного коэффициента
передачи
при
изменении частоты от нуля до бесконечности
равно
,
где n – порядок системы,
а
–
количество правых полюсов.
Устойчивая система. Система устойчива, если собственные переходные процессы являются затухающими, т.е. если все корни ее характеристического уравнения (полюса передаточной функции) имеют отрицательные действительные части.
ГЛАВА 5. качество процессов управления.
Определение устойчивости системы и ее обеспечение являются первой проблемой при создании автоматических систем. Второй, не менее важной проблемой, является обеспечение заданного качества процесса управления. Т.е. устойчивость необходимое, но не достаточное условие нормальной работы системы. Устойчивая система может быть не достаточно точной, не достаточно быстродействующей, может иметь большое перерегулирование. Выделяют следующие основные показатели качества процесса управления: колебательность переходного процесса, максимальное отклонение (перерегулирование) управляемой переменной от заданного значения, точность, время переходного процесса. Качество управления обычно оценивается по переходной характеристике, т.е. по реакции системы на единичный входной сигнал.
5.1 классификация внешних воздействий. требования, предъявляемые к качеству процесса управления.
1. Классификация внешних воздействий. Изменение режима работы автоматической системы возникает в результате прикладываемых к ней внешних воздействий. При этом возможны различные режимы работы системы в зависимости от заданного закона изменения выходной переменной и внешних возмущающих воздействий. В общем случае эти воздействия являются сложной функцией времени. При исследовании качества процесса управления обычно принято рассматривать несколько типичных воздействий в виде следующих функций:
- единичной скачкообразной,
- импульсной,
- гармонической.
Наиболее распространенным является воздействие в виде единичной скачкообразной функции.
Существует несколько видов требований, предъявляемых к протеканию процесса управления. Их можно представить с помощью графиков, на которых изображены необходимые переходные процессы.
1) задается коридор, т.е. некоторая область, за пределы которой управляемая переменная не может выходить ни при каких возможных в реальных условиях воздействиях на систему (рис.1);
2) задается желательная кривая переходного процесса (на рис. 2 она изображена пунктирной линией)и максимально допустимое отклонение от этой кривой .
3) требуется, чтобы в полученном переходном процессе достигался максимум или минимум значения какого-либо параметра при определенных ограничениях (данная задача называется оптимизацией переходного процесса). Например, необходимо, чтобы время переходного процесса было минимально, т.е. необходимо решить задачу быстродействия системы:
5.2 ПРЯМЫЕ и косвенные оценки качества управления.
Оценивать качество управления можно или непосредственно, по определенным из опыта или рассчитанным кривым процесса управления, или косвенно, по каким-либо другим динамическим параметрам или характеристикам системы. Оценки качества, полученные непосредственно для переходной функции процесса регулирования, называются прямыми оценками качества; оценки, полученные другим путем, называются косвенными оценками.
1. Прямые оценки качества управления обычно довольно трудно находить, решая дифференциальные уравнения системы, и непосредственно связывая их с ее параметрами. На рис. 3 показаны наиболее часто применяемые прямые оценки качества.
1)
-
длительность переходного процесса. В
некоторых нелинейных и импульсных
системах регулируемая величина может
переходить от одного значения к другому
за конечное время. Но в линейных системах
длительность переходного процесса
теоретически равно бесконечности.
2)
-
ошибка в установившемся режиме. Данную
величину стремятся делать возможно
меньшей, т.к. она обычно плохо влияет на
показатели качества, но чрезмерное
уменьшение сильно повышает стоимость
системы.
3)
-
перерегулирование
4
)
количество колебаний
в
течение переходного процесса.
2. Косвенные оценки качества управления. Классический путь получения заданного качества управления состоит в следующем: решается составленное дифференциальное уравнение, описывающее систему. Из уравнения получают график переходного процесса и корректируют его. Но полное решение дифференциального уравнения дает избыток ненужных сведений и требует большой вычислительной работы. Поэтому здесь целесообразен иной подход в виде косвенных методов исследования переходного процесса, так называемых косвенных критериев.
К косвенным критериям предъявляют следующие требования:
- наглядная связь со структурой и параметрами схемы,
- простая связь с показателями качества.
Практически используют следующий способ:
В настоящее время основные методы косвенных оценок качества управления делятся на три группы: частотные критерии, интегральные критерии (общая оценка качества переходного процесса) и корневые критерии качества.
5.3 ошибки системы в установившемся режиме.
Рассмотрим структурную схему, представленную на рис. 4, на вход которой подается гладкий сигнал. Гладкий сигнал это сигнал полиномиального вида, т.е.
Передаточная функция структуры:
.
Цель управления:
.
Ошибка при отработке входного сигнала определяется следующим образом:
,
,
где
-
ошибка в установившемся режиме.
Рассмотрим структуру, представленную на рис. 5, которая эквивалентна структуре на рис.4.
Передаточная функция, связывающая задающее воздействие и ошибку , для данного случая имеет следующий вид:
,
(*)
представим
ее в виде ряда по степеням
,
это возможно для установившегося режима,
в котором
,
а
.
Поэтому ряд сходится:
(**)
-
называются коэффициентами
ошибок.
Ошибка определяется следующим образом:
,
с учетом выражения (**) получим:
.
Используя обратное преобразование Лапласа, получим:
проще
всего находить методом неопределенных
коэффициентов, приравнивая коэффициенты
слева и справа при одинаковых степенях
р. Количество требуемых коэффициентов
зависит от вида
.
Пример 1: разомкнутая система имеет следующую передаточную функцию:
.
Необходимо найти первые три коэффициента ошибки.
Используя выражение (*), найдем
,
,
.
Чем
больше
,
тем меньше коэффициенты ошибки. Но при
увеличении
уменьшается
запас устойчивости, а при малых
увеличиваются
ошибки. Это противоречие характерно
почти для всех систем автоматического
управления.
Пример 2: рассмотрим астатическую систему 1 порядка, передаточная функция разомкнутой системы:
.
Необходимо найти первые три коэффициента ошибки.
Используя выражение (*), найдем
,
,
.
Пример
3:
необходимо найти ошибку в установившемся
режиме
.
Входной сигнал
.Рассмотрим
два случая:
1) статическая система:
,
.
2) астатическая система:
,
.
Таким образом, астатическая система, в отличие от статической, отрабатывает постоянное входное напряжения без ошибки.
5.4 структурный признак степени АСТАТИЗМА системы.
при гладком входном сигнале, т.е. сигнале полиномиального вида:
,
если
система имеет порядок астатизма
,
то система отрабатывает входной сигнал
с нулевой ошибкой, если выполняется
следующее условие:
.
Степень астатизма системы равна первому неравному нулю коэффициенту ошибки. Степень астатизма для одной и той же системы может быть разной для разных сигналов (для задающего сигнала и для помехи).
Пример
1:
рассмотрим структурную схему, приведенную
на рис. 6. Необходимо найти степень
астатизма для задающего сигнала и для
помехи, т.е. для
и
.
1й
случай:
определим степень астатизма для задающего
сигнала, считая при этом
.
Преобразуем исходную структуру (рис.7).
Найдем передаточную функцию, связывающую задающий сигнал и ошибку:
,
,
,
.
Согласно последнему выражению и определению степени астатизма, получим, что астатизм для задающего сигнала:
.
2й
случай:
определим степень астатизма для помехи,
считая при этом
.
Преобразуем исходную структуру (рис.
8).
Найдем передаточную функцию, связывающую помеху и ошибку:
,
.
Согласно последнему выражению и определению степени астатизма, получим, что астатизм для помехи:
,
т.е. система статическая, и входной сигнал отрабатывается не с нулевой ошибкой.
Пример 2: в структурной схеме, представленной на рис. 6, поменяем звенья местами (рис. 9). Также, как и в предыдущем примере, необходимо найди степень астатизма для задающего сигнала и для помехи, т.е. для и .
1й случай: степень астатизма для задающего сигнала остается такой же, как и в примере 1, т.е.
.
2й случай: определим степень астатизма для помехи, считая при этом . Преобразуем исходную структуру (рис. 10).
Найдем передаточную функцию, связывающую помеху и ошибку:
,
,
.
Согласно последнему выражению и определению степени астатизма, получим, что астатизм для помехи:
.
Т.о. количество интеграторов в цепи обратной связи (от ошибки до сигнала) равно степени астатизма.
Степень
астатизма системы определяется
количеством интеграторов в цепи обратной
связи между ошибкой
и
задающим сигналом или помехой.
Астатизм по отношению к задающему
сигналу полезен, т.к. обеспечивает ошибку
в установившемся режиме равной нулю,
т.е.
.
Астатизм по отношению к помехе полезен,
т.к. влияние помех на выходной сигнал
уменьшается.
Пример 1: рассмотрим структурную схему на рис. 11
.
Степень астатизма для задающего сигнала равна , т.е. система является астатичной. Относительно помехи система также астатична, степень астатизма .
Определим, является ли астатичность относительно помехи полезным, для этого рассмотрим передаточную функцию, связывающую помеху и выходной сигнал .
.
Найдем выходной сигнал в установившемся режиме:
,
т.е. помеха не влияет на выходной сигнал.
Пример 2: рассмотрим влияние статизма относительно помехи:
Степень астатизма относительно помехи , т.е. система является статичной.
,
т.е. статизм по отношению к помехе нежелателен, т.к. помеха полностью отрабатывается системой и влияет на выходной сигнал.
5.5 гармонические входные сигналы. установившиеся режимы и ошибки при гармоническом входном сигнале.
Р
ассмотрим
следующую структурную схему:
.
Если входной сигнал является единичным, т.е. если:
,
то ошибку в установившемся режиме можно найти либо разложением в ряд по степеням , либо используя теоремы о предельных переходах.
,
где
.
Пусть сигнал, подаваемый на вход, является гармоническим
,
найдем ошибку в установившемся режиме.
.
,
.
Т.к. данные результаты очевидно не верны, то данный метод нахождения ошибки является не верным. При гармонических входных сигналах нельзя пользоваться теоремами о предельных переходах, т.к. пределы не существуют. При анализе установившихся режимов и гармоническом входном воздействии пользуются не передаточной функцией, а комплексным коэффициентом передачи.
Например, используя данное положение, найдем выходной сигнал системы в установившемся режиме.
,
,
,
,
,
.
Ключевые термины и понятия.
Косвенные оценки качества управления. Делятся на три основные группы: частотные, интегральные, корневые.
Оценка качества. Количественная мера качества системы.
Прямые показатели качества. Находятся непосредственно из переходной характеристики. К ним относятся: длительность переходного процесса (время установления), перерегулирование, количество колебаний в течение переходного процесса, ошибка в установившемся режиме.
Тестовые входные сигналы. Входные сигналы типового вида, позволяющие проектировщику сравнить несколько вариантов создаваемой системы. В линейных системах реакцию системы на один тестовый сигнал всегда можно выразить через реакцию на другой тестовый сигнал. Обычно в качестве одного тестового сигнала выбирают ступенчатый входной сигнал – единичную функцию 1(t).
ГЛАВА 6. Частотные методы анализа качества управления.
Математической основой частотного метода анализа качества систем является преобразование Фурье. Этот метод сочетает аналитические вычисления и графические построения. Так как при анализе качества процесса управления применяются те же частотные характеристики, что и при исследовании устойчивости, то частотный метод представляет собой единый метод анализа динамики автоматических систем. При этом используется аналитическая зависимость между переходной и частотной функциями замкнутой системы.
6.1 связь между переходным процессом и вещественной частотной характеристикой.
Частотные критерии качества переходного процесса дают связь между параметрами системы и переходным процессом. Эта связь осуществляется через частотные характеристики системы:
Переходная функция связана с весовой функцией следующим соотношением:
.
(*)
Весовая функция с помощью преобразования Фурье, может быть определена следующим образом:
где - комплексная частотная функция,
-
вещественная частотная функция,
-
мнимая частотная функция,
-
действительная часть,
-
мнимая часть.
Т.к.
весовая функция
-
чисто вещественная функция, то
,
т.е. если функция
должна
быть нечетной.
,то
.
Тогда весовая функция примет следующий вид:
(**)
Заменим
в последней формуле
на
:
,
,
.
Подставим последнее выражение в формулу (**):
.
Тогда переходная функция определяется следующим образом:
.
.
П
оследняя
формула связывает вещественную частотную
характеристику с переходной функцией;
т.о. зная передаточную функцию,
следовательно, и вещественную частотную
характеристику, можно рассчитать
переходный процесс.
Пример: зная передаточную функцию системы, необходимо найти переходную функцию:
.
Частотная характеристика получается путем замены в выражении передаточной функции комплексной переменной на :
.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю:
,
вещественная частотная характеристика имеет вид:
.
Найдем перех. характеристику:
.
В этом и других случаях вычисление этого интеграла целесообразно свести к вычислению интегралов от трапециидальных функций.
6.2
Основные связи между
-
вещественной частотной функцией и
-
переходной функцией.
Непосредственно из выражения
(*)
вытекают
основные свойства
и
.
1. Свойство линейности: если представить в виде суммы
,
причем
,
то переходная функция также будет состоять из суммы:
.
2.
Соответствие
масштаба по вертикальной оси: умножив
обе части выражение (*) на постоянную
,
получаем следующее свойство: при
умножении
на
постоянный множитель
,
соответствующие ему значения
также
умножаются на
.
Иллюстрация данного свойства приведена
рис. 15.
3. Масштабы по горизонтальной оси обратно пропорциональны (рис. 16): если аргумент в выражении частотной характеристики умножается на постоянное число , то аргумент в выражении переходного процесса делится на этот множитель:
.
На
рис. 16
,
-
частоты равномерного пропускания;
,
-
частоты пропускания,
;
-
время переходного процесса.
Т.о., на сколько увеличилась полоса пропускания, настолько уменьшилась длительность переходного процесса. Чем шире полоса пропускания частот, тем выше быстродействие системы, т.е. короче переходный процесс.
Пример: рассмотрим пропорциональное звено, его передаточная функция имеет следующий вид:
.
ЛАЧХ для этого звена представляет собой горизонтальную линию, т.к. полоса частот бесконечна, то переходный процесс происходит мгновенно:
4. На основании теоремы о предельных переходах.
,
,
5. Признаки неустойчивости системы.
Если
на графике
существуют
разрывы или участки с очень большим
значением
,
то соответствующая система либо
неустойчива, либо имеет очень небольшой
запас устойчивости.
6. По графику можно приблизительно определить перерегулирование системы.
,
.
7. Длительность переходного процесса примерно определяется следующим образом:
.
6.3 Основные связи между ЛАЧХ разомкнутой системы и переходными процессами (в минимальнО-фазовых системах).
Существует
однозначная связь между
и
:
т.е. зная передаточную функцию системы,
можно определить ЛАЧХ системы, найти
вещественную частотную характеристику
и переходную функцию:
.
1
.
Переходный
процесс близок к монотонному, если
частота среза располагается на участке
.
Октава – изменение частоты в 2 раза.
2.
Ход
характеристики ЛАЧХ в области низких
частот
влияет
на ошибки в установившемся режиме. Чем
больше статический коэффициент передачи
на низких частотах, тем меньше ошибка.
3.
Ход
характеристики ЛАЧХ на частотах
не
оказывает существенного влияние на
переходный процесс.
В [5] имеется ряд зависимостей, связывающих (ЛАЧХ разомкнутой системы) с параметрами переходной функции замкнутой системы .
6.4 расчет переходной характеристики по табличным значениям перходных функций для еденичных трапеций.
Единичная трапеция представлена на рисунке 17.
В
книгах имеются таблицы
-функций
для единичных трапеций.
Согласно формуле нахождения переходной функции через вещественную частотную характеристику, переходная функция для единичной трапеции имеет следующий вид:
,
,
,
где
-
интегральный синус.
Найдем
по графику (рис. 17) значение
и
:
.
Используя
соотношения для
,
,
рассчитывается
-функция
для единичной трапеции. Переход от
единичной функции к не единичной
осуществляется по следующей формуле:
.
.
П
ример:
имеем некоторую вещественную частотную
характеристику (рис. 19), необходимо
получить переходную характеристику.
Разобьем исходную характеристику
на три трапеций (рис. 20):
.
Для каждой из них получим переходную
характеристику, и, сложив их, получим
общую переходную функцию (рис. 21).
Переходные
характеристики
находятся
по таблицам.
В
зависимости от значения
единичные
трапеции могут принимать различные
вид. Следует отметить, что чем резче
изменяется
,
тем более колебательный переходный
процесс. Если
,
то переходный процесс представляет
собой экспоненту, если
,
то переходный процесс является
колебательным (рис. 22).
Ключевые термины и понятия.
Вещественная частотная характеристика (в.ч.х.). Действительная часть комплексного коэффициента передачи (комплексной частотной функции):
Основные связи между в.ч.х. и переходной характеристикой. Выполняется свойство линейности:
,
масштабы по оси частот и временной
оси обратно пропорциональны, т.е чем
шире полоса пропускания функции
,
тем короче переходный процесс.
Основные
связи между амплитудно – частотной
характеристикой разомкнутой системы
и переходной характеристикой.
Переходный процесс близок к монотонному,
если частота среза (
)
располагается
на участке с наклоном
«-20
».
Чем больше статический коэффициент
передачи на низких частотах, тем меньше
ошибка в установившемся режиме.
Переходные характеристики для в.ч.х., заданных в виде единичных трапеций. Для в.ч.х., данных в виде единичных трапеций, имеются таблицы переходных функций. Это позволяет, разлагая на сумму трапеций, получить переходную характеристику всей системы.
глава 7. интегральные критерии качества управления.
Метод интегральных оценок позволяет получить в результате вычисления определенных интегралов суммарную ошибку за все время процесса управления. Интегральная оценка характеризуется подинтегральной функцией, которая выбирается с таким расчетом, чтобы оценка лучше характеризовала качество переходного процесса и выражалась возможно проще через коэффициенты уравнения исследуемой системы. Если внешнее воздействие является единичной скачкообразной функцией, то интегральную оценку рассматривают, как площадь, ограниченную кривой переходного процесса и заданным значением. Чем меньше площадь, тем меньше оценка, тем лучше качество переходного процесса. Линейные интегральные оценки позволяют вычислить площадь без непосредственного построения переходной характеристики и, следовательно, косвенно оценить качество переходного процесса. Интегральные оценки одновременно характеризуют две важные стороны процесса: быстроту затухания и величину отклонения управляемой переменной. Наиболее эффективно с их помощью удается сравнивать между собой близкие системы: лучшей считается та, у которой интегральная оценка будет наименьшей.