6. Полный момент количества движения

В классической физике полный момент количества движения частицы или системы частиц является непрерывной величиной. Полный момент количества движения (обычно обозначается ) является вектором и должен быть задан тремя его проекциями J_x J_y J_z. Полный момент количества движения частицы складывается из его орбитального момента и собственного (спинового) момента :

. (2.19)

В квантовой теории ситуация аналогичная. Полный момент количества движения частицы также описывается соотношением (2.19), в котором векторные величины заменены операторами полного момента , орбитального момента и спинового момента .

В отношении свойств вектора в квантовой механике можно повторить те же утверждения, которые были сделаны ранее в отношении векторов и . В соответствии с общими правилами для квантовых векторов проекция полного момента на выделенную ось (z) может принимать 2j+1 значение.

Чтобы получить вектор полного момента , необходимо выполнить сложение векторов и . Такое сложение в квантовой физике отличается от классического, потому что квантовые вектора (соответствующие им квантовые числа l, s и j) не могут принимать непрерывный ряд значений, а всегда обязаны быть либо целочисленными, либо полуцелочисленными. Следствием этого является простое правило сложения квантовых векторов, иногда называемое правилом треугольника. Для случая (2.19) оно имеет вид:

. (2.20)

Левая часть этого неравенства соответствует минимальному значению вектора , когда вектора и направлены в противоположные стороны. Правая часть неравенства отвечает максимальному , когда вектора и сонаправлены. С учётом требований пространственного квантования все возможные j заключены в интервале от l-s до l+s и меняются в пределах этого интервала с единичным шагом (j=1). Что касается проекций на выделенную ось (z), то между ними существует простое алгебраическое соотношение j_z=l_z+s_z.

Из выше сказанного вытекает очевидное следствие: если спин частицы целый (или нуль), то полный момент j также целый (или нуль); если же спин полуцелый, то полный момент обязательно полуцелый.

Существует глубокая связь между спином и симметрией волновых функций, впервые указанная Паули и доказанная им с помощью релятивистской квантовой теории. Волновая функция системы n тождественных частиц с полуцелым спином, называемых фермионами, меняет знак, если переставить в ней любые две частицы. Волновая функция системы n тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами, остаётся неизменной при перестановке в ней любых двух частиц.

Связь между спином и симметрией приводит к так называемому принципу Паули. Предположим, что две частицы обладают в точности одними и теми же квантовыми числами. Тогда говорят, что данные две частицы находятся в одном и том же состоянии. Перестановка 12 оставит волновую функцию двух частиц неизменной. Однако, если обе частицы являются фермионами, то волновая функция должна изменить знак и поэтому должна обратиться в нуль. Следовательно, можно говорить о принципе запрета, который гласит, что одно квантовомеханическое состояние может занять только один фермион.