3.11. Метод сквозного счета в задачах теплопроводности при структурных и фазовых переходах

Математическую формулировку задачи рассмотрим на примере затвердевания слитка. При отводе теплового потока с поверхности слитка происходит его затвердевание (рис. 3.22), при этом одновременно существуют твердая фаза, двухфазная зона, включающая растущие кристаллы, и жидкая фаза (ядро) слитка.

Температура, при которой происходит переход из твердого состояния в твердо-жидкое (двухфазное), называется температурой солидуса (Т_сол), переход из двухфазного состояния в жидкое происходит при температуре ликвидуса (Т_лик). В интервале температур двухфазной зоны (Т_сол< Т < Т_лик) происходит выделение удельной теплоты фазового перехода L, [Дж/(кг·К)]. При охлаждении поверхности слитка двухфазная зона продвигается, при этом область выделения удельной теплоты фазового перехода заранее неизвестна. Такая задача с подвижной границей фазового перехода называется задачей Стефана.

В основе с метода сквозного счета лежит решение уравнения теплопроводности для всей расчетной области слитка, в пределах двухфазной зоны в уравнении учитывается источник теплоты фазового перехода. Это достигается введением функции относительного содержания твердой фазы в элементе объема (ψ), изменяющейся только в пределах двухфазной зоны, при этом уравнение теплопроводности имеет вид

(3.100)

Функция относительного содержа­ния твердой фазы ψ зависит только от температуры, ψ=1 при Т < Т_сол, ψ=0 при Т > Т_лик и изменяется 0<ψ<1 при Т_сол< Т < Т_лик, поэтому сделаем замену

,

после которой в уравнении теплопроводности

объединяем левую часть и источник тепла

Выражение в скобках является эффективной теплоемкостью

. (3.101)

С введением эффективной теплоемкости уравнение теплопроводности принимает стандартный вид без источника тепла

, (3.102)

где – коэффициент эффективной температуропро­вод­но­сти.

В квазиравновесной модели кристаллизации принят линейный закон выделения твердой фазы в двухфазной зоне (рис. 3.23), то функция ψ и ее производная принимают вид

,

Эффективная теплоемкость (44) в этих условиях скачком возрастает в интервале температур двухфазной зоны (рис. 3.24)

Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учитывается за счет эквива­лентного повышения теплоем­кости в двухфазной зоне. При такой постановке задачи границами двухфазной зоны являются изотермы ликвидуса и солидуса.

При дальнейшем охлаждении слитка в твердой фазе происходят структурные переходы с выделением соответствующих теплот структурных переходов. Тепловые эффекты этих переходов можно учесть также эквивалентным повышением теплоемкости при температурах Т_α↔β, Т_β↔γ, Т_γ↔δ с учетом удельных теплот этих переходов L_α↔β, L_β↔γ , L_γ↔δ. В результате на графике зависимости теплоемкости от температуры (рис. 3.25) наблюдается спектр повышения теплоёмкости при температурах структурных и фазового переходов. Поэтому теплоём­кость, учитывающая фазовые и структурные переходы в металле, называется спектраль­ной теплоемкостью.

Уравнение теплопровод­ности (3.102), содержащее эффективную (или спектраль­ную) теплоёмкость, зависящую от температуры, нелинейно, так как коэффициенты уравнения зависят от его решения (распределения температуры). Поэтому решать такое уравнение следует на компьютере численно. Сперва, по заданному начальному распределению температуры определяются эффективные (спектральные) теплоёмкости в расчётной области. Затем решается уравнение теплопроводности с рассчитанными коэффициентами и находится некоторое распределение температуры. Далее, уточняются значения коэффициентов, и снова находится уточнённое распределение температуры. Такой итерационный процесс продолжается до достижения требуемой точности решения.