Уравнение теплопроводности для анизотропных сред

Анизотропной называется среда, значение величины, определяющей свойства (в частности, теплопроводность), зависит от направления.

В общем случае закон Фурье можно записать в тензорном виде

, i = x, y, z.

Тензор теплопроводности в прямоугольной системе координат имеет следующий вид

.

Выбором системы координат тензор теплопроводности можно привести к виду

,

уравнение теплопроводности имеет вид

.

С учетом обозначений , , уравнение теплопроводности принимает стандартный вид

, (3.56)

где .

Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии k_y, k_z, корректирующие теплопроводность по направлениям.

Уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов

Полученное ранее выражение закона Фурье предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плотность теплового потока для любого момента времени τ соответствуют друг другу. Это подтверждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.

Для высокоскоростных процессов в условиях резкого изменения теплового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и изменение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релаксации τ_r. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением

, (3.57)

из которого следует, что время релаксации увеличивается с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увеличением скорости распространения теплоты u_r. Например, для азота τ_r = 10^–9 с, а для алюминия τ_r = 10^–11 с.

С учетом скорости распространения теплоты (3.57) в законе Фурье появляется дополнительный член

. (3.58)

Рассмотрим с учетом (3.58) вывод одномерного уравнения теплопроводности, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, теплопроводность и время релаксации постоянны. Проекция плотности теплового потока (3.58) на ось x

’ (3.59)

подставив ее в уравнение теплопроводности

(3.60)

получим

. (3.61)

Продифференцируем уравнение (3.60) по τ, получим

. (3.62)

Подставим смешанную производную из (3.62) в уравнение (3.61) и поделим на ρс

. (3.63)

В трехмерном случае при наличии источника тепла уравнение (3.63) принимает вид

(3.64)

Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности относится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при τ_r=0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (3.50).

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характеризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.

Краевые условия включают в себя начальное (временное) и граничные (пространственные) условия.

Начальное краевое условие необходимо для нестационарного процесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени

, (3.65)

часто его принимают однородным

. (3.66)

Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных краевых условий.

При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры

. (3.67)

В частном случае температура всей поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической

. (3.68)

На рис. 3.12 показано распределение температуры в процессе остывания тела с изотер­ми­ческой границей ( ), при этом плотность теплового потока переменна ( tg ψ~q).

При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока

. (3.69)

В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться посто­ян­ной во времени, например, при нагре­вании металла в высокотемпературных печах

. (3.70)

На рис. 3.13 показано распределение температуры в процессе остывания тела при постоянной плотности теплового потока (q = const), при этом температура поверхности тела переменна. Частным случаем граничного условия 2-го рода является адиабатная граница ( ), например, ось симметрии тела.

При граничных условиях 3-го рода на поверхности тела для каждого момен­та времени задается температура окружа­ю­щей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

, (3.71)

где α – коэффициент теплоотдачи

, (3.72)

характеризующий плотность теплового по­то­ка при единичной разности темпе­ратур между поверхностью тела и окружающей средой.

С учетом закона Фурье граничное условие 3-го рода имеет вид

, (3.73)

отсюда

.

На рис. 3.14 показано распределение температуры в процессе остывания тела при гра­ничном условии 3-го рода, при этом изме­ня­ются как температура поверхности тела (Т_п), так и плотность теплового потока (q~tg ψ).

Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частными случаями граничных условий конвективного теплообмена:

1. – изотермическая граница;

2. – адиабатная граница.

Граничные условия 4-го рода описывают условия теплообмена на границе контакта двух тел (рис. 3.15)

, (3.74)

где R_к [K·м²/Вт] – тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В частном случае идеального контакта (R_к=0)

, (3.75)

т.е. коэффициент теплопроводности и темпера­тур­ный градиент обратно пропорциональны: чем выше коэффициент теплопроводности материала, тем меньше в нем температурный градиент.

Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющей единственное решение.