3.10. Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла

Процесс переноса теплоты может сопровождаться изменением агрегатного состояния вещества. В процессе перехода вещества из одного агрегатного состояния в другое выделяется либо поглощается большое количество теплоты. Процесс фазового перехода может локализоваться в объеме малой толщины, называемом фронтом фазового перехода.

В соответствии с балансом подвода и отвода теплоты фронт фазового перехода будет перемещаться с определенной скоростью. К фронтальным процессам относится и процесс плавления-затвердевания металла. На рис. 3.18 показано температурное поле в отливке с плоским фронтом фазового перехода. При отводе тепла с поверхности отливки (x=0) образуется корка твердой фазы (1) толщиной ε, которая растет по мере отвода тепла со скоростью . Температурное поле в твердой фазе подчиняется уравнению теплопроводности

, (3.90)

где а₁ – коэффициент температуропроводности твердой фазы металла.

В жидкой фазе 2 температурное поле описывается системой дифференциальных уравнений переноса энергии

, (3.91)

движения вязкого расплава

(3.92)

и неразрывности

, (3.93)

где – вектор скорости; – градиент давления; а₂, ρ₂ – коэффициент температуропроводности плотность жидкой фазы металла.

На границе фазового перехода (на рис. 3.18 это граница x = ε) плотности тепловых потоков в твердой и жидкой фазах равны и связаны со скоростью продвижения границы соотношением

, (3.94)

где L [Дж/кг] – удельная теплота фазового перехода; плотность ρ относится к исходной фазе: при затвердевании металла это плотность жидкой фазы, при плавлении – к твёрдой.

Таким образом, постановка задачи включает уравнение теплопроводности для твердой фазы (3.90), систему уравнений тепломассопереноса (3.91–3.93) в жидкой фазе и баланс тепловых потоков на границе раздела фаз (3.94). Задача замыкается другими рассмотренными ранее краевыми условиями, включающими начальное распределение температуры и поля скоростей жидкой фазы, условия теплообмена на поверхности слитка (x=0) и на оси симметрии (x=δ), условия «прилипания расплава» на границе фазового перехода.

Рассмотрим задачу затвердевания плоского слоя из не перегретого неподвижного расплава, имеющего постоянную температуру Т_зат (рис. 3.19). Поскольку на левой поверхности слоя поддерживается постоянная температура Т_п<Т_зат, происходит затвердевание расплава, т.е. формируется во времени корочка твердой фазы толщиной ε. При этом на подвижной границе затвердевания x = ε выделяется удельная теплота фазового перехода L [Дж/кг].

Математическая формулировка задачи включает дифференциальное уравнение тепло­проводности

(3.95)

начальное условие

Т(x, 0) = Т_зат; ε(0) = 0, (3.96)

граничные условия

Т(ε, τ) = Т_пл ; Т(0, τ) = Т_п , (3.97)

а также условие выделения тепла на границе фазового перехода

. (3.98)

Принимая линейный закон распределения температуры по толщине твердой фазы в любой момент времени, из условия (3.98) получаем

.

После разделения переменных и интегрирования получаем решение задачи

. (3.99)

Решение (3.99) отражает «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка (рис. 3.20), в соответствии с которым скорость роста твердой фазы уменьшается с течением времени. Это объясняется возрастающим тепловым сопротивле­нием растущей корки, через которую отводится теплота фазового перехода.

Пример 3. Непре­рыв­ный плоский стальной слиток (сляб) толщиной 2δ=20 см вытя­ги­вается со скоростью 0,6 м/мин из неподвижного кристал­ли­за­то­ра (рис. 3.21). Температура поверхности сляба поддержи­вается постоянной, Т_п = 900^оС. Свойства стали: L=275 кДж/кг; ρ = 7800 кг/м³; λ = 45 Вт/(м·К); T_пл = 1500^оС. Определить протяженность двухфазной зоны l по длине слитка.

Решение. Из уравнения (3.99) определим время окончания затвердевания, за которое толщина корки достигнет половины толщины сляба (ε=δ)

Протяженность двухфазной зоны .