Лекция 5 Постановка краевой задачи теплопроводности

Вопросы

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Краевые условия

Стационарная теплопроводность плоского слоя

Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности

Метод регулярного теплового режима расчета нагрева (охлаждения) тел

Теплопроводность при плавлении-затвердевании металла

Метод сквозного счета в задачах теплопроводности при структурных и фазовых переходах

Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка

Краевая задача теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности, имеющее единственное решение при заданном начальном распределении температуры и условиях теплообмена на границах расчетной области.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения переноса энергии и связывает производные температуры по координате и времени

. (3.50)

Физический смысл уравнения: тепло от внутренних источников заданной мощности q_V, а также тепло, подведенное к элементарному объему от соседних теплопро­вод­но­стью , идет на увеличение внутренней энергии этого элементарного объема .

Коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом температуропроводности

. (3.51)

Он характеризует скорость изменения температуры и является мерой теплоинерционных свойств тела. При прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Частные случаи уравнения теплопроводности:

1. q_V =0 – уравнение Фурье, описывает нестационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла;

2. – уравнение Пуассона, описывает стационарную теплопроводность в теле с источниками (стоками) тепла;

3. q_V =0, – уравнение Лапласа, описывает стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла.

Уравнение теплопроводности при неоднородных свойствах

Дифференциальное уравнение теплопроводности (3.50) было получено в предположении постоянной теплопроводности (λ=const), в действительности теплопроводность зависит от температуры, λ=λ(Т), поэтому при выводе уравнения теплопроводности нельзя выносить плотность теплового потока за знак дивергенции. В этом случае уравнение теплопроводности становится нелинейным, так как входящий в него коэффициент λ зависит от распределения температуры

(3.52)

Нелинейное уравнение теплопроводности (3.52) можно привести формально к виду линейного уравнения (3.50), для этого преобразуем диффузионный член уравнения

,

С введением понятий эффективных коэффициентов теплопроводности

, (3.53)

и температуропроводности

(3.54)

дифференциальное уравнение теплопроводности принимает стандартный вид

, (3.55)

удобный при численной реализации на компьютере.