§2. Криволинейные интегралы 2-го рода

1.Определение, существование.

Рассмотрим кривую  с началом в точке A и концом в точке B. Пусть T={T_k} разбиение кривой  и ={ _k } , _k=(_k , _k , _k ), набор промежуточных точек, x_j=x_j+1 – x_j .

Для функции f(x,y,z) , данной кривой, разбиения и набора промежуточных точек образуем интегральные суммы

(1)

Предел сумм (1) при (T)0, если он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 2-го рода и обозначается

(2)

Характеристика разбиения определяется так же, как для интеграла первого рода (T) = max l_k. Аналогично можно определить интегралы

, .

Замечание 1. Если началом кривой выбрать точку B, то все x_j меняют знак, поэтому

=.

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Теорема 1. Пусть кривая  задана в параметрическом виде

, t[, ] (3)

Если кривая (3) непрерывна, x(t) – непрерывно дифференцируема, функция f непрерывна на , то интеграл (2) существует и имеет место формула

= .

Доказательство. Для разбиения T={T_k}={(x(t_k), y(t_k), z(t_k)} и промежуточных точек

{_k}={(x(_k), y(_k), z(_k)} можно интегральные суммы представить в виде

==

Последнюю сумму в этом равенстве можно представить в виде

+.

Здесь первая сумма является интегральной для интеграла, а вторая может быть сделана меньше любого наперед заданного >0 выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции .

Замечание. Зачастую удобно рассматривать интегралы вида

++===

==.

Интеграл можно интерпретировать, как работу силового полявдоль пути .

2. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

Перечисляемые ниже свойства выписаны для интегралов вида , но они справедливы и для интегралов,,. Через^-- обозначается кривая, отличающаяся от  направлением обхода. Кривую  будем предполагать кусочно-гладкой, а функции P,Q,R непрерывными

( ), тогда

1) =

2) =+

3. (Аддитивность по множеству) Если существует интеграл и криваяAB разбита точкой C на два участка AC, CB , то

=+.

3. Если существует интеграл , то

.

5) (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется

Первое свойство следует непосредственно из определения криволинейного интеграла. Свойства 2)-3) доказываются так же, как и для обычных интегралов. Для кусочно гладкой кривой эти свойства следуют из свойств интегралов ,,. Четвертое свойство будет доказано в следующем пункте.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.

3. Связь с интегралом 1-го рода.

Рассмотрим кусочно-гладкую кривую  и непрерывную функцию f(x,y,z) , определенную на . Рассмотрим разбиение {T_k}={x_k ,y_k ,z_k,} кривой  с промежуточными точками ={_k} .

x_k=x_k+1 - x_k=l_k cos _k . На рисунке отрезок BC проходит через точку T_k , параллельно оси Ox.

Поэтому

=

Слева стоят интегральные суммы для интеграла 2-го рода, а справа стоят суммы, которые при измельчении разбиения будут сходиться к интегралу , где=(x,y,z) - угол, который образует касательный вектор к кривой  в точке (x,y,z) с осью Ox, .Отсюда следует, что

=.

Докажем это.

==+.

Первая сумма является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения (в силу равномерной непрерывности функцииf[x(t),y(t),z(t)] на [,] ).

Аналогичные утверждения справедливы для интегралов по отношению к осям Oy, Oz. Откуда, в свою очередь, будет следовать равенство

=,(4)

,,.

Обозначим орт вектора касательной и введем понятие вектора элемента длины дуги. В этих обозначениях интеграл справа в(4) может быть записан в виде , это интеграл первого рода. Интеграл слева в(4) является интегралом второго рода и его принято обозначать . Таким образом, формула(4) в векторном виде может быть записана следующим образом

=.

Докажем четвертое свойство интеграла второго рода . Для интегральных сумм интеграла(второе определение) можно записать

.

Определение. Кривая с заданным направлением обхода называется ориентированной кривой. Для замкнутой кривой, лежащей в плоскости z=0, положительным направлением обхода называется такое направление, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева.

Пример 1. (4225) Вычислить , - дуга астроиды .

	Параметрическое уравнение астроиды

====+=+==

Пример 2. (4238) , - окружность ,x+y+z=0.

Сделаем поворот системы координат на 45 градусов вокруг оси Oz .	Это означает переход к новой системе координат

Согласно свойству инвариантности интеграла относительно поворотов

=, где - окружность u²+v²+w²=a², u+w=0. Отметим, что этим поворотом мы «избавились» от одного переменного в уравнении плоскости. Попробуем избавиться таким же способом от второго переменного. Так как u+w = , то этого можно добиться, сделав поворот

	Обратное отображение

Это соответствует повороту на угол , для которого , .В новых координатахp, q, r уравнение плоскости будет иметь вид p = 0 . Подинтегральная функция

u²-2uv+v²=. Кривая лежит в плоскости p=0, поэтому в качестве параметризации возьмем полярные координаты

======.

Пример 3. (4248) Вычислить интеграл

, где  - 1) отрезек ₁=OA, O=(0,0), A=(1,2). 2) парабола ₂ ={y=2x²} , от O до A. 3) два отрезка ₃ + ₄ : по оси Ox и вертикально вверх до точки A.