Глава 6. Преобразования базисов и координат, криволинейные координаты

§1. Преобразования базисов и координат

1.Отображение областей. Криволинейные координаты

Рассмотрим область V в системе координат (x,y,z) и область D в системе координат (x¹,x²,x³) .

Кроме того, пусть задано взаимно-однозначное соответствие между этими областями, осуществляемое регулярным отображением ( регулярное – взаимно-однозначное и такое, что прямое и обратное непрерывно дифференцируемы )

(1)

Будем предполагать, что матрица Якоби отображения (1) не вырождена всюду в области D. Наборы координат (x,y,z) и (x¹,x²,x³) можно интерпретировать следующим образом: каждая точка M из области V определяется, как ее исходными координатами ( в дальнейшем это будут декартовы координаты ), так и координатами (x¹,x²,x³), которые в отличии от исходных координат называются криволинейными координатами. В основе этой терминологии лежит геометрический подход. Так, если в (1) фиксировать две из трех координат x¹,x²,x³, то получим линию, которая называется координатной линией. Множество всевозможных линий, полученных фиксированием второй и третьей координат обозначим S₁ (параметром линии служит первая координата x₁ ). Аналогично определяются еще два семейства линий S₂ , S₃ . При сделанных предположениях через каждую точку будет проходить ровно по одной линии из этих семейств. Таким образом, задание точки однозначно определяется заданием трех линий l₁S₁, l₂S₂, l₃S₃ . Наряду с координатными линиями можно рассматривать координатные поверхности, которые получаются, если в (1) фиксировать одну из координат, а остальные две рассматривать, как параметры.

Рассмотрим три координатные линии, проходящие через заданную точку области V

Касательные вектора в точке пересечения этих линий обозначим через

(2)

Эти вектора образуют базис, так как они не компланарны

.

Для данного базиса единственным образом можно определить базис ¹, ², ³ такой, что (,^j)=.Подробнее об этом речь пойдет в одном из следующих пунктах. Такой базис называется взаимным. Векторы взаимного базиса определяются по формулам

¹=,²=,³=. (3)

Определение. Криволинейная система координат (1) называется ортогональной, если в каждой точке области V базис (2) является ортогональным.

В случае ортогональной системы координат формулы (3) упрощаются. Будем предполагать, что тройка правая. ПоложимH₁=, H₂=, H₃=, величиныH₁, H₂, H₃ называются коэффициентами Ламэ. В силу ортогональности ( тройка правая )

= H₁ H₂ H₃ , = H₂ H₃,= H₃ H₁,= H₁ H₂.

Откуда следует, что

= , = , =.

2. Наиболее употребительные случаи криволинейных координат в пространстве

Цилиндрические координаты

x1=r	x2=		x3=h
1=(cos  , sin  , 0)	2=r (- sin  , cos  , 0)		3=(0, 0, 1)
H1=1	H2=r		H3=1

Система цилиндрических координат ортогональна и ==r,

= , = =, =.

Сферические координаты

x1=	x2=		x3=, [-/2, /2]
1= (cos  cos  , cos  sin  , sin )	2=  cos  (-sin  ,cos  ,0)		3=  (-sin  cos  , - sin  sin  , cos )
H1=1	H2= sin ,		H3=.

Система сферических координат ортогональна и ==²cos ,

3. Взаимные, сопряженные базисы

В дальнейшем речь пойдет о базисах в трехмерном пространстве.

Определение. Базисы r_i , r^k называются взаимными или сопряженными, если выполнено условие

(r_i , r^k) = .

Теорема. Для любого базиса r_i существует единственный взаимный базис.

Из условия r¹ r₂ , r¹ r₃ , поэтому этот вектор надо искать в виде c[r₂ , r₃], из условия (r₁ , r¹) = 1 находится множитель c. Таким образом,

r¹ = [r₂ , r₃]/( r₁ , r₂ , r₃ ), r² = [r₃ , r₁]/( r₁ , r₂ , r₃ ), r³ = [r₁ , r₂]/( r₁ , r₂ , r₃ ).

Любой вектор пространства можно разложить по базисам

x = x_k r^k = r_k x^k .

Координаты x_k называются ковариантными координатами, а x^k – контравариантными координатами.

Соглашение 1. В любом выражении, состоящем из некоторого числа сомножителей, наличие индекса у двух сомножителей на разных уровнях будет означать суммирование по этому индексу от 1 до 3. Следует придерживать единого порядка написания индексов суммирования. Договоримся при написании этих индексов следовать правилу: «левый внизу, правый вверху».

Соглашение 2. Иногда, если не возникает путаницы, стрелка над вектором будет опускаться. То же самое касается жирности шрифта для обозначения вектора (r=r, если не возникает путаницы).

Например, формулы разложений по базисам будут выглядеть следующим образом

x = x_k r^k = r_k x^k .

Еще один пример: a_ic^j = a_ic^j .

Найдем выражение для ко и контравариантных координат

x = x_i rⁱ = r_i xⁱ 

x_i = (x, r_i ), xⁱ = (x, rⁱ) (1).

Подставляя выражения для координат в разложения вектора, получим формулы Гиббса

x = (x, r_i ) rⁱ = r_i (x, rⁱ) (2)

Подставим выражения x из формул Гиббса (2) в (1)

x_i = (x,r_j )(r^j,rⁱ) = x_j g^ji (3)

xⁱ = (r_j,r_i) (x,r^j ) = g_ji x^j (4)

Матрицы g^ji = (r^j,rⁱ), g_ji = (r_j,r_i) симметричны и называются метрическими тензорами. Беря в качестве x в формуле (2) вектора r_j , r^j получим формулы, связывающие векторы взаимных базисов с помощью метрических тензоров

r_j = g_ji rⁱ

r^j = r_i g^ji .

Подобные операции носят название операций поднимания и опускания индекса с помощью метрического тензора. Умножим первое равенство на r^k второе на r_k , получим

= g_ji g^ik

= g_ik g^ji .

Эти равенства показывают, что матрицы метрических тензоров взаимно обратные.

4. Преобразование координат

Даны базисы e_i , и eⁱ , ⁱ . Обозначим матрицы, связывающие эти базисы ,,,.

_i = e_j , e_i = _j  = (5)

Равенство = в развернутом виде выглядит следующим образом

=,

Таким образом, если придерживаться правила порядка написания индексов суммирования: «левый внизу, правый вверху», то для матриц верхний индекс указывает номер строки, а нижний – номер столбца.

^j = eⁱ , e^j = ⁱ  = (6)

Последнее равенство в матричном виде:

=.

Умножая первое равенство из (5) на e^k , а второе равенство из (6) на _k получим выражения для матриц перехода между базисами

(_i , e^k) = ( e_j , e^k )= =,

(e^k , _i )= (^j , _i )= =.

Таким образом, = . Аналогично показывается, что = . Равенства (5), (6) перепишутся в виде

_i = e_j , e_i = _j (7)

^j = eⁱ , e^j = ⁱ (8)

Равенства (7), (8) в развернутом виде:

=,	=	(7)
=,	=	(8)

Выпишем формулы преобразования координат при переходе к другому базису, например, для контравариантных координат.

Имеем x = _i ⁱ = e_i x ⁱ или x==. Подставляя во второе равенство e_i из (7) получим

x = _j x ⁱ , откуда _j ^j = _j xⁱ и ^j = xⁱ.

Аналогично из равенств ,e^k = ^I получаем, откуда. Таким образом,

=,=.

Полученные формулы ^j = xⁱ , позволяют сформулировать правило: координаты векторов при переходе к новому базису преобразуются по тем же законам, что и вектора сопряженного базиса

i = ej	ei = j
	xi = j
j = ei	ej = i
j = xi	xj =