Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Векторный и тензорный анализ / matan_3 / ma3.doc

Скачиваний:

335

Добавлен:

10.05.2014

Размер:

4.96 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Равномерная сходимость несобственного интеграла от параметра

Рассмотрим интеграл

(1)

, yY.

Предположим, что при некоторых y интеграл (1) является несобственным. Так, если и при некотором y интеграл (1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (1) будет существование конечного предела

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого [a,b) интеграл (называемый остатком) будет существовать и условие сходимости можно записать в виде. В случае расходимости этого интеграла, естественно считать, что условиене выполнено. Таким образом, условие сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

Определение. Пусть интеграл с параметром для всех или для некоторых y Y имеет единственную особенность в b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в + (интеграл 2-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если

 >0 >0(b-,b)yY: (для интеграла 2-го рода)

 >0M(M,+)yY: (для интеграла 1-го рода)

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Если существует функция g(x), определенная на [a,b) (b – конечное или +), интегрируемая на любом [a, ), (a,b) такая, что

1) |f(x,y)|  g(x), a  x < b, yY

2) сходится ,

то интеграл сходится равномерно на Y.

Утверждение следует из неравенств .

Теорема. (Переход к пределу под знаком интеграла) Пусть иf(x,y) определена и непрерывна на [a,b) по x для всех yY. Если для любых (a,b) функция f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b-] при yy₀ , интеграл равномерно сходится на Y, сходится. Тогда

Доказательство.

Для >0 выбираем  так, что ,для всех y (равномерная сходимость и сходимость ) . Для выбранного таким образом  можно найти окрестность точки y₀ , в которой (равномерная сходимость f(x,y) к g(x) на [a,b-]).

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го рода). Для равномерной сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы

 >0>0 y  Y,(b-,b): .

Достаточность. При выполнении условия для  y  Y,(b-,b) можно перейти к пределу при   b . Тогда для  y  Y(b-,b) : ,что означает равномерную сходимость интеграла .

Необходимость. Имеем  >0>0 y  Y(b-,b): . Тогда при ,(b-,b) будет выполнено .

Непрерывность несобственного интеграла от параметра

Теорема 2. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d] , интеграл (y) = сходится равномерно на [c,d] , то этот интеграл является непрерывной функцией.

Доказательство.

|(y+y) - (y)| =++.

Второй и третий интегралы могут быть сделаны меньше заданного  выбором  в силу равномерной сходимости интеграла .После выбора  первый интеграл может быть сделан меньше заданного  выбором достаточно мелкого разбиения в силу равномерной непрерывности функции f(x,y) на прямоугольнике [a,] [c,d].

Интегрирование интегралов зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d], интеграл (y) = сходится равномерно на [c,d] , существует интеграл, то

==.

Доказательство. Для любого [a,b)

=. Отсюда следует требуемое утверждение, если учесть, что сходится равномерно на [c,d] к при b. Действительно, .

Эту теорему можно обобщить

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)[c,d), интеграл сходится равномерно на любом [c,] , интеграл сходится равномерно на любом [a,] и существует один из повторных интегралов

, , то существует и другой и выполняется равенство

Без доказательства.

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)[c,d] , то сходимость интеграла эквивалентна условию: для любой последовательности _kb, ₀=a , _k[a,b) сходится ряд . Аналогично для равномерной сходимости: для равномерная сходимость интеграла на множестве Y эквивалентна условию: для любой последовательности _kb, ₀=a , _k[a,b) равномерно на Y сходится функциональный ряд .

Это утверждение следует из определения предела по Гейне и выражения для частичных сумм ряда .

Теорема. Пусть функции f(x,y) и непрерывны на[a,b)[c,d] . Если сходится для всех y а сходится равномерно на [c,d] , то функция (y) = дифференцируема на этом отрезке и

Доказательство. Пусть _n b ,_n[a,b), ₀=a . Согласно лемме

(y) = =.Таким образом, функциональный ряд сходится для всех y. Далее, . Таким образом, ряд из производных сходится равномерно на [c,d]. По теореме о почленном дифференцировании функционального ряда =.

Пример. Гамма функция Эйлера Г(p) = ,p > 0.

Г(p) непрерывна на ( 0 ,  ). Г(p) =+.

Докажем непрерывность функций , на ( 0 ,  ).

1)  ,p[ , A] . сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на этом множестве [ , A].

2)  ,p[ , A] . сходится и по признаку Вейерштрасса интеграл сходится равномерно на [ , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [ , A].

Для гамма функции Эйлера справедлива формула

(1)

Это равенгство получается после замены x  xy .

(p) = ==.

2. Бэта функция Эйлера В(p,q) = ,p > 0 , q >0 .

Сделаем замену ,dx = .

В(p,q) = =.

В(p,q) = (2)

3. Другие свойства функций Эйлера

Из формулы (1) следует, что

, . Интегрируя, получим. Откуда, используя(2)

В(p,1-p) = Г Г ==,0<p<1.

Г(1) = 1, Г(p+1) = p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что Гамма функцию достаточно знать на интервале (0, 1/2).

Интеграл сходится для p>0 и сходится равномерно на любом отрезке [ , A ], для 0 <  < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходимость интегралов .

В окрестности нуля |ln x|  для  > 0 существует C₁().

В окрестности бесконечности |ln x|  для  > 0 существует C₂().

Равномерная сходимость интеграла Г⁽^k⁾(p)= на любом отрезке [ , A ] следует из оценок ++, для всех p[ , A]. Здесь для  >0 следует выбрать  так, чтобы  - k  оставалось больше нуля.