Глава 3. Криволинейные интегралы

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода

1.Определение, существование

Рассмотрим спрямляемую кривую  и функцию f(x,y,z), определенную на этой кривой

«Упорядоченный вдоль кривой» набор точек {T_k}, k=0,1,…,n называется разбиением кривой T={T_k} . На каждой дуге T_k T_k+1 задана промежуточная точка _k=(_k , _k , _k ), ={ _k }, обозначим длину дуги T_k T_k+1 через l_k , длину хорды, стягивающей дугу T_k T_k+1 обозначим l_k . Характеристикой разбиения T назовем величину (T) = max l_k . Составим интегральные суммы следующего вида

(f,T,)= (1).

Предел сумм (1) при стремлении к нулю характеристики разбиения (T), при условии существования этого предела и независимости его от выбора промежуточных точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода и обозначается

.

Точное определение на кванторах дается так же, как и для обычного интеграла

J>0>0:((T)<, T)|(f,T, ) - J|<.

Можно использовать эквивалентное определение, беря в качестве интегральных сумм суммы вида , где вместо длины хорды l_k берется длина дуги l_k . Доказательство эквивалентности этих определений для гладкой кривой будет дано позже.

Замечание 1. Если кривая  плоская, (например, лежит в плоскости Oxy), и f=f(x,y), то интеграл обозначается .

Замечание 2. Интегральная сумма не изменится, если произвести поворот или сдвиг системы координат. Это свойство называется свойством инвариантности интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат.

Рассмотрим случай, когда кривая задана параметрически

, t[, ] (2)

Теорема 1. Если кривая (2) гладкая (непрерывно дифференцируема без особых точек

(x ²+y ²+z ²0)), функция f(x,y,z) непрерывна на (2), тогда криволинейный интеграл существует и имеет место равенство

=(3)

Доказательство. Для простоты будем рассматривать случай плоской кривой. Выберем разбиение {t_j } отрезка [, ].

===+.

Второй интеграл в последнем равенстве можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно мелкого разбиения. Действительно,

=. Знаменатель этой дроби ограничен снизу (у кривой нет особых точек и вторая теорема Вейерштрасса). Числитель можно сделать малым в силу равномерной непрерывности. Таким образом, пределом сумм будет интеграл

.

Для доказательства эквивалентности двух определений, для заданного разбиения {t_j } отрезка [,] промежуточные точки _j выберем так, что

,

соответствующие точки на кривой  обозначим _k=( x(_k),y(_k) ). Для интегральной суммы получим

==

Полученная сумма является интегральной суммой для интеграла , откуда и следует требуемое утверждение.

Замечание. Отметим, что интеграл первого рода не зависит от выбора порядка точек разбиения {A_k} (что считать началом кривой, а что концом, что в дальнейшем будет определяться, как ориентация кривой ). Точки A, B могут совпадать.

2. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1)

2) (Аддитивность по множеству) Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB и существует , то существуютии справедлива формула

=+

1. Если существует , то существует ии выполнено неравенство .

2. (Инвариантность интеграла относительно поворотов и сдвигов системы координат) При поворотах системы координат вокруг осей и при сдвигах криволинейный интеграл не меняется.

Поясним это свойство на примере отображения

( поворот на угол  вокруг оси Oz)

Если функция f(x,y,z) определена на  , то в системе координат (u, v, w) функция

F(u,v,w)=f(u cos - v sin , u sin  + v cos , w)

Будет определена на образе  кривой  . И в данном случае это свойство означает равенство интегралов

.

Доказательства свойств 1)-3) те же, что и для обычных интегралов. Для кусочно-гладкой кривой эти свойства следуют из соответствующих свойств обычного интеграла

.

Замечание. Свойство аддитивности интеграла по множеству позволяет распространить утверждение теоремы 1 предыдущего пункта на кусочно-гладкие кривые.