§3. Полилинейные формы и их связь с тензорами
Пусть
Х
– евклидово пространство (линейное
пространство со скалярным произведением)
размерности n
и Х*
его сопряженное пространство,
отождествляемое с ним самим (см. п.1 §1).
Обозначим xk
= ej
, y
s
=
ei.
Определение. Функция F(y,x)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) от q контравариантных и p ковариантных векторов называется полилинейной формой ( (q,p) – полилинейной формой ), если она линейна по каждому аргументу.
Полилинейные формы можно складывать, умножать на числа и перемножать. Перемножение двух форм типов (q,p),(s,r) дает форму типа (, q+s ,p+r):
H(y1,y2,…,yq+s,x1,x2,…,xp+r)=F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp) G(yq+1,yq+2,…,yq+s,xp+1,xp+2,…,xp+r).
Координатами полилинейной формы в базисе ej , ej являются числа
=
,
или
.
Рассмотрим
наборы векторов x1=
,
x2=
,…,
xp=
,y1=
,
y2=
,…,
yq=
.
Координаты
полилинейной формы в новом базисе
=
и
=
будут
равны
=
=
=
=
,
или,
в краткой форме:
Таким образом, полилинейная форма типа (q,p) является тензором типа (q,p).
Операции между тензорами можно определять через полилинейные формы.
Операция свертки. Пусть А – тензор, соответствующий форме F(y1,y2,…,yq,x1,x2,…,xp), рассмотрим новую форму
G(y2,…,yq,x2,…,xp)=
.
Докажем,
что это определение не зависит от выбора
базиса. Так как x2,…,xp,y2,…,yq
фиксированы,
то достаточно рассмотреть
F(e,e
). Имеем
=
и
=
и
F(
)=
F(
,
)=
F(
,
)
=
F(
,
)=
F(
,
).
Напомним, что наличие индекса i на разных уровнях, слева внизу, справа вверху, означает суммирование по этому индексу.
Полилинейная
форма G(y2,…,yq,x2,…,xp)=
называется
сверткой по первому индексу. Координатами
этой формы будут
=
=
Свертку можно определять по любой паре индексов, расположенных на разных уровнях.